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MLE (最大似然) 与 LS (最小二乘) 与 MAP (最大后验)

序言

最大似然估计 属于机器学习中的常用的基础思想，很多具体的算法及模型都基于它建立，或者能够基于它找到解释，例如：

• MLE 可以解释为什么常用的线性回归使用的是平方（即最小二乘法），而不是四次方

• MLE 思想 与 MAP 思想的联系与区别；这关于概率统计领域 频率学派 vs. 贝叶斯学派；还会涉及到对于机器学习中 Regularization 的理解；（MAP 与 贝叶斯估计，朴素贝叶斯分类器 乃至 Logistic Regression LR 都相关，这些内容其他文章再展开讨论）

• MLE 思想，被应用于机器学习十大算法之一 EM算法（期望最大化，K-means 实际上使用了 EM；EM 其他文章再展开讨论）

本文将会详细阐述 最大似然 的思想，并展开讨论 LS 、MAP 与最大似然的关联。

1. MLE 最大似然估计

MLE (Maximum Likelihood Estimation)
这里首先解释一个关键问题：likelihood 和 probability 的有什么差别？根本来说，likelihood 是指一个反向过程，已知结果来反推模型或者假设，结果本身无意义，不同结果的比例才有意义；probability 是指一个正向过程，已知具体的模型参数，来推导不过结果的可能性，结果本身有概率意义。

1.1 问题定义（适用场景）

• 给定一组采样（数据），他们都是从同一个分布（identically）中采样，并且每次采样的独立的（即独立事件，independently）
• 我们不知道其具体的分布，但是我们认为(推测)它属于某个分布族，所以只需要确定具体参数即可，即 “模型已定，参数未知”

这时，最大似然估计 就可以用来估计模型参数，就是找出一组参数，使模型产出观测数据的概率最大。例如，我们确定分布式高斯分布的话，我们的目标只是确认其均值和方差。
（上述定义中加粗的三个部分强调的 最大似然估计 非常强的三点假设）

1.2 似然函数

定义问题后，我们使用 似然函数（likelihood） 来定量地表示模型产出观测数据的概率，可以理解为定量标识条件概率 $p(X|\theta)$，其中 $\theta$ 是我们想估计的模型参数，而 $X$ 是已经观测到的数据。似然函数准确定义如下：

$$L(\theta;x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1,x_2,...,x_n|\theta)=\prod_{i=1}^n{f(x_i|\theta)}$$

• 我们通过模型的概率密度函数 $f$ 来表达 likelihood；例如 高斯分布的概率密度函数是 $f(x|\theta)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi^2}} \exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$
• 由于我们假设采样是独立的，所以我们可以把基于所有采样的联合概率，拆分为 $n$ 个独立概率的积
• 实践中，常采用对数似然函数，这样在一些化简上更加方便，且最大化时是等价的；称为log-likelihood：$ln(L)=\sum_{i=1}^nf(x_i|\theta)$

1.3 最大似然估计

在定义问题且确定目标函数（似然函数）后，我们要做的就是最大化目标函数；也就是找到使模型产出观测数据的概率最大的一组模型参数 $\hat{\theta}_{MLE}$：

$$\hat{\theta}_{MLE}=arg\max_{\theta}{f(x_1,x_2,...,x_n|\theta)}=arg\max_{\theta}{ln(L)}$$

以上的 1.1 到 1.3 对最大似然估计的思想做了整理，实际中会有很多繁琐的细节来找到最优的 $\hat{\theta}_{MLE}$：

• 写出似然函数具体式子（考虑模型的概率密度公式）
• 对似然函数取对数化简整理
• 最大化似然函数（例如解使导数等于0的参数值）

这里引入一个非常简单的具体例子：

• 假设我们从一个简单的高斯分布$N(\mu,\sigma)$采样到了 $n$ 个样本，且满足 IID（Independently and Identically Distributed），可以写出似然函数如下：
  
  
  
  L(X,μ,σ)=∏i=1n12πσ2−−−−√exp(−(xi−μ)22σ2)
  

  $$L(X,\mu,\sigma)=\prod_{i=1}^n{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})}$$

• 对似然函数取对数化简后如下：
  

  l=ln L =∑i=1nln(2πσ2)−12+∑i=1n(−(xi−μ)22σ2)=−N2lnσ2−N2ln(2π)−12σ2∑i=1n(xi−μ)2

  $$\begin{aligned}l = ln\ L\ &= \sum^n_{i=1}ln(2\pi\sigma^2)^{-\frac{1}{2}}+\sum^n_{i=1}(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2})\\ &=-\frac{N}{2}ln\sigma^2-\frac{N}{2}ln(2\pi)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)^2\end{aligned}$$

• 最大化上式；即分别对 $\mu$ 和 $\sigma$ 求解偏导等于 0
  

  ∂ l∂ μ=1σ2∑i=1n(xi−μ)=0∑i=1nxi=∑i=1nμμ^=1N∑i=1nxi

  $$\frac{\partial\ l}{\partial\ \mu}=\frac{1}{\sigma^2}\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)=0\\\sum^n_{i=1}x_i=\sum^n_{i=1}\mu\\\hat{\mu}=\frac{1}{N}\sum^n_{i=1}x_i$$
  

  ∂ l∂ σ2=−N2σ2+12(σ2)2∑i=1n(xi−μ)2=012σ2(1σ2∑i=1n(xi−μ)2−N)=0σ^2=1N∑i=1n(xi−μ^)2

  $$\frac{\partial\ l}{\partial\ \sigma^2}=-\frac{N}{2\sigma^2}+\frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)^2=0\\\frac{1}{2\sigma^2}(\frac{1}{\sigma^2}\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)^2-N)=0\\\hat{\sigma}^2=\frac{1}{N}\sum^n_{i=1}(x_i-\hat{\mu})^2$$

以上三步通过 最大似然估计 完成了对高斯分布模型参数的估计，估计结果和均值及方差的公式完全一致。

1.4 有偏估计 biased-estimate

MLE 本身存在系统性误差。有上述 1.3 中的例子来说，其 均值 和 方差 估计与 样本均值 sample mean 以及 样本方差 sample variance 一致。但是 sample variance 属于有偏估计，MLE 会系统性地低估 true variance (或称 总体方差 population variance)，这是 MLE 产生过拟合 overfitting 的根源。

有偏估计 与 无偏估计， biased and unbiased estimate

设 $x_1,x_2,x_3\ ...\ x_n$ 是总体 $X$ 的一个样本，$\theta$ 是包含在总体 $X$ 中的待估参数，我们在样本上对其进行估计 $\hat{\theta}=\hat{\theta}(x_1,x_2,x_3\ ...\ x_n)$。如果我们的样本很有限，而只做一次估计的话，$\hat{\theta}$ 很大概率不为 $\theta$。但这里我们可以想象无限次地重复采样，重复估计 $\hat{\theta}$，这就可以得到一个估计的期望 expectation $\mathbf{E}(\hat{\theta})$，这个期望本身反映出我们估计方法的性质：

• 若 $\mathbf{E}(\hat{\theta})=\theta$，则我们的估计是无偏估计，期望是趋向真实值的
• 反之，则我们的估计是有偏估计，包含了系统误差

MLE 的有偏估计

根据上述的定义，我们对 MLE 在 1.3 的估计结果求取期望（期望的定义我有专门用一篇文章详述），结果如下：
$\hat{\mu}_{MLE}=\frac{1}{N}\sum^n_{i=1}x_i$
$\mathbf{E}(\hat{\mu}_{MLE})=\mu$
$\hat{\sigma}_{MLE}^2=\frac{1}{N}\sum^n_{i=1}(x_i-\hat{\mu})^2$
$\mathbf{E}(\hat{\sigma}_{MLE}^2)=\frac{N-1}{N}\sigma^2$
如上，MLE 对 均值 是无偏估计，而对 方差 是有偏估计，且是低估方差。我们常用的样本方差无偏估计应该是 $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{N-1}\sum^n_{i=1}(x_i-\hat{\mu})^2$，相关证明比较繁琐，参见wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Bias_of_an_estimator。本质上，出现有偏估计的原因是估计中依赖于总体均值，但是我们给予的却是一个样本均值。

2. 最大似然估计 与 LS 最小二乘法

MLE & Least Squares

2.1 最小二乘法

最小二乘法 是非常标准的回归 regression 问题的解法，这里简单列举几个点：

• 通过最小化残差（residual，观测值 和 模型预测值 之差）的平方和，以寻找数据的最佳函数匹配：$\min{\epsilon^2=\sum_{i=1}^n{(y_i-f(x_i,\theta))^2}}$
• 其解决了 超定问题 over-constrained：样本数 大于 特征数，实际上是 方程数量 大于 未知参数数量
• 很多情况下，最小二乘法 是 残差 满足正态分布的 最大似然估计；这与 高斯分布（Gaussian Distribution）、中心极限定理（Central-limit Theorem）关系密切！这也直接回答了我们为什么要用最小平方而不是四次方。下面将从线性模型开始，通过 最大似然估计 推导出 最小二乘法

2.2 线性模型 与 残差

2.2.1 定义

对于线性回归（Linear Regression）基本的模型 $f(x)=x^Tw$：

• 这里认为 $x$ 和 $w$ 分别是 观测数据（data） 和 模型参数（weight vector），$f(x)$ 是模型预测值
• 另外引入标签（label）$y$ 作为想要预测的值；注意 $x$ 和 $y$ 都是我们的观测（采样）数据，准确说他们应该是 pair 形式的观测结果 $(x, y)$
• 模型预测结果 和 标签 的差值定义为 残差（residual）： $\epsilon=y-f(x)$；注意，term 残差 专指模型预测差值，和 误差（又分为 系统误差 和 随机误差） 不同

2.2.2 残差分布

如果我们每一次的观测都属于独立事件，所有观测误差的期望和方差应该都一致；显然这符合中心极限定理，应该构成正态分布，并且误差的期望值应该是 0。所以大多数情况下，我们可以认为这个误差服从高斯分布，如下：

$$\epsilon \thicksim N(0,\sigma^2)$$

2.2.3 与 最大似然

结合本小节上述两个公式，可以得到我们的观测到的标签服从如下高斯分布：

$$y\thicksim N(f(x), \sigma^2)$$

此时，我们定义了产出观测数据的模型，处于
“模型已定，参数未知”的情况，
找到一组参数使我们观测到一系列 $y$ 的概率最大 是一种完成 线性回归 的很自然的思路，这也就是
最大似然估计 !

2.3 最大似然估计 推得 最小二乘法

2.3.1 似然函数

有高斯分布的概率密度函数（probability density function）如下：

$$f(x|\ \mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

则 2.2 中观察到结果 y 的概率密度函数如下：

$$p(y|\ x,w,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(y-f(x))^2}{2\sigma^2})$$

可定义我们观测的到一系列

y
$y$ 的可能性（似然函数）如下：

$$L(w,X,\sigma)=\prod_{i=1}^n{p(y_i|x_i,w,\sigma)}$$

2.3.2 化简整理

对似然函数取对数、展开、化简如下：

$$\begin{aligned}ln\ L(w,X,\sigma)&=ln\ \prod_{i=1}^n{p(y_i|x_i,w,\sigma)}\\&=\sum_{i=1}^n{ln\ p(y_i|x_i,w,\sigma)}\\&=\sum_{i=1}^n{ln\{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(y_i-x_i^Tw)^2}{2\sigma^2})\}}\\&=n\ ln\{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\}-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n{(y_i-x_i^Tw)^2}\end{aligned}$$

2.3.3 最大似然

上述结果中，$\sigma$ 可以假设为任意大于 0 的常数（表示残差高斯分布的标准差），对于剩下的参数部分最大化则有（因为负号所以变成最小化）：

$$\hat{w}_{MLE}=arg\min_{w}{\sum_{i=1}^n{(y_i-x_i^Tw)^2}}$$

这个解和 Least Square（最小二乘法）完全一致，即对于 Linear Regression，
最小二乘法 是 残差 满足正态分布的 最大似然估计。在这之后，可以直接对上式求导等于 0 解出

w^MLE=X+y
$\hat{w}_{MLE}=X^+y$ ，或者更常规地使用 gradient descend 方法

3. 最大似然估计 MLE 与 最大后验估计 MAP

MLE & MAP (Maximum a Posterior Estimation)

3.1 唯一差别 prior

MAP 相对 MLE 的唯一差别是：增加了一个关于参数本身的prior distribution（先验分布）。其实就是通过先验知识，把参数的解约束到一定范围内，所以和 Regularization 有很大联系。相关 贝叶斯法则如下 Bayes Rule：

$$posterior=\frac{likelihood*prior}{evidence}\ or\ P(Y|X)=\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}$$

最大后验估计 MAP 利用了 贝叶斯法则，定义最大化目标为如下的后验概率：

$$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n)=\frac{P(x_1,x_2,...,x_n|\theta)P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$

上式中，分母

P(x1,x2,...,xn)
$P(x_1,x_2,...,x_n)$ 作为数据本身存在的概率（evidence，也称边界似然，即对所有可能存在的似然概率积分），可以看做是一个常数，我们的目标是最大化（通过

θ
$\theta$）以下俩个目标 ：

• 最大似然 MLE 的 似然函数 (likelihood): $P(x_1,x_2,...,x_n|\theta)$
• 参数本身的先验分布: $P(\theta)$

自然地，当先验分布是 uniform distribution 时，MLE 和 MAP 一致。但其实，一个属于频率学派（MLE），另一个属于贝叶斯学派（MAP）。
继续使用 $f(x_1,x_2,...,x_n|\theta)$ 表示相关参数产出观测结果的likelihood，并引入 $g(\theta)$ 表示参数先验分布的概率密度函数，则 MAP 解如下：

$$\begin{aligned}\hat{\theta}_{MAP}=&\ arg\max_{\theta}{f(\theta|x_1,x_2,...,x_n)}\\=&\ arg\max_{\theta}{f(x_1,x_2,...,x_n|\theta)g(\theta)}\end{aligned}$$

一句话归纳即：

• MLE 寻找使模型产出观测数据的概率最大的一组模型参数
• MAP 寻找对于已知先验概率以及观测数据最适合的一组模型参数

3.2 MAP 与 Regularization

先验分布 本质上是我们对相关领域、数据、模型的已有经验或知识。由于机器学习本身不是万能的，这种 先验知识 往往能起很大作用。实践中常提到 Regularization 正则化 来优化模型的过拟合，达到更好的泛化 generalization 表现；这本身就是通过 先验知识 对模型的求解进行约束，以下详细列举两个例子。

3.2.1 MAP and 岭回归 Ridge Regression

在之前 MLE 得到 Least Square 的基础上，对MLE加入高斯先验分布，假设我们要求解的参数 $w$ 本身服从一个先验分布：$w\thicksim N(0,\gamma^2)$
此时，MAP 最大化的目标函数如下：

$$\begin{aligned}L(w)&=p(y|X,w)p(w)\\&=\prod_{i=1}^n{\{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(y_i-x_i^Tw)^2}{2\sigma^2})\}}\prod_{j=1}^m{\{\frac{1}{\sqrt{2\pi\gamma^2}}\exp(-\frac{(w_j)^2}{2\gamma^2})\}}\end{aligned}$$

注意，这里假设了观测数据

X
$X$ 包含



n

$n$ 个样本，每个样本

m
$m$ 个特征；所以对于一个固定的



w

$w$，我们的目标函数是：整个数据集上观测到残差的联合概率 与

w
$w$ 本身存在的概率 的积。

取对数后，化简整理得如下结果：

$$lnL(w)=nln\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}+mln\frac{1}{\sqrt{2\pi\gamma^2}}-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n{(y_i-x_i^Tw)^2}-\frac{1}{2\gamma^2}w^Tw$$

上式中，

σ
$\sigma$ 和

γ
$\gamma$ 看作是某一常数，但是和 MLE 不同的是，他们的取值会影响两个目标（likelihood & prior）的权重，所以引入 超参数

λ
$\lambda$ 来直接表示先验的权重，最终有:

$$\hat{w}_{MAP_{Gassian}}=arg\min_{w}{\sum_{i=1}^n{(y_i-x_i^Tw)^2}}+\lambda||w||^2$$

上式就是标准的 岭回归 Ridge Regression 公式（LS + L2正则）。本质上就是在 最小二乘法 的基础上增加的参数本身的先验分布，认为参数本身服从高斯分布。

从 L2-Regularization 的角度来看，就是要求 weight vector 中大部分的权值聚集在 0 附近，正如下图中展示的 Gaussian 分布；这可以控制模型的复杂度，优化过拟合。

Figure 1. Gaussian distribution with different parameters

3.2.2 MAP and 套索回归 LASSO（least absolute shrinkage and selection operator）

和 3.2.1 类似，我们对 MLE 加入拉普拉斯分布（Laplace Distribution）为先验分布将得到 LASSO。拉普拉斯分布的概率密度公式如下：

$$f(x|\mu,b)=\frac{1}{2b} \exp(-\frac{|x-\mu|}{b})$$

与之前的似然函数展开、整理、化简过程类似，我们最终得到下式：

$$\hat{w}_{MAP_{Laplace}}=arg\min_{w}{\sum_{i=1}^n{(y_i-x_i^Tw)^2}}+\lambda||w||^1$$

从下图的 Laplace 中可以看出，这个先验分布会更加地把解约束到 0 附近，甚至就是 0，所以 L1-Regularization 也常用作稀疏（sparse）解、特征筛选等。特别是针对 拥有大规模的特征的简单模型，利用这种稀疏性的先验约束，去除冗余的噪声的特征是很重要的。

Figure 2. Laplace distribution with different parameters




另外，L1 L2 作为 Regularization 常有下图所示的解释，来说明 L1 正则化 能构造出稀疏性解；因为俩个不同优化目标的等高线（contour）的交点会有差异，L1 的交点倾向于落在坐标轴上，直接干掉了一些维度的特征，L2 的话可能会再很多维度上一直保持一个较小的量。整个图很直观，当然相关结论我们都可以用 MAP 的推导结果直接解释，L1 本身就通过 Laplace 把参数的解约束到稀疏分布上了，L2 本身通过 Gaussian 把参数的解约束到较平滑的分布上。







Figure 3. Regularisation effect for weight vector

3.3 MAP 与 贝叶斯分类器 NB (Naive Bayes Classifiers)

之前也提到，MAP 的核心在于利用 贝叶斯法则 Bayesian Rules 引入先验；这其实就与 Bayes Estimate、Bayes Classifier、Naive Bayes Classifier 有着密切联系了。甚至 LR (Logistic Regression) 以及 生成模型 vs. 判别模型 的问题都可以展开讨论（其他文章展开讨论）

4. 最大似然估计 MLE 与 最大期望算法 EM

MLE & EM (Expectation Maximization)

EM 被称为机器学习十大算法之一。当模型中包含我们观察不到的隐含变量（latent varaible），我们常用 EM 求解问题。这是一个迭代算法（iterative method）；分为 E (Ecpectation) 步骤用于估计模型中的隐含变量 和 M (Maximization) 步骤用于估计模型本身的参数 (具体使用 MLE 或 MAP)。
最常见的例子就是 GMM (Gaussian Mixture Model) 中我们通过 E step 来估计样本具体归属哪个高斯分布，而 M step 来估计各个高斯分布最合适的参数。K-means 就是约束了：a. 任何样本100%归属仅一个高斯分布； b. 所有高斯分布方差一致，且都是 isotropic 的（所以距离最近的一个分布概率最大）；两个条件的 GMM 模型 EM 求解算法
这一算法可以说和上述的 MLE 和 MAP 思想都有关联，后续会专门发文详细讨论 EM。