概率生成函数（probability-generating function）

老牧童 • 2024-02-18 13:15 • 未分类 • 阅读 106

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生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。最早提出母函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项，生成函数是推导Fibonacci数列的通项公式方法之一。另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计、分析上，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进。

数学定义

在概率论中，离散随机变量的概率生成函数是随机变量的概率质量函数（probability mass function，PMF，即离散随机变量的密度函数）的幂级数表示（生成函数）。概率生成函数通常用于对随机变量X的概率质量函数中的概率序列 Pr(X=i) 进行简洁的描述，并提供完善的具有非负系数的幂级数理论。

对于任意数列 $a_{0},a_{1},a_{2},\cdot\cdot\cdot,a_{n}$ ，用如下方法与一个函数联系起来：

$G(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}x^{n}\cdot\cdot \cdot$

则称 G(x) 为数列的生成函数（generating function）。

相应的把上述数列替换为离散随机变量分布函数的数列：

$G_{X}(z)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(X=k)z^{k}$

显然 $G_{X}(z)$ 的各项系数非负，且和为1。这个条件可以写成：

$G_{X}(1)=1$

同样，反过来，任何具有非负系数且满足 G(1)=1 的幂级数 G(z)

性质

G(1)=1

$E(X)=\sum^{+\infty}_{i=0}P(X=i)i=G'(1)$

$E(X_{k})=G^{(k)}_{X}(1)(k\neq 0)$

可以看出上述两式可以大大简化均值与方差的计算。

$V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}=G''(1)+G'(1)-G'(1)^{2}$

如果我们已知 $G'_{X}(1)$ 与 $G''_{X}(1)$ 的值，我们就能够求出均值与方差，甚至我们可以不用知道 $G_{X}(z)$ 本身的封闭形式。

$Pr(X+Y=n)\\=\sum_{k}Pr(X=k\cap Y=n-k)\\=\sum_{k}Pr(X=k)Pr(Y=n-k)$

这显然是一个卷积，即：

$G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)G_{Y}(z)$

????

待完成：

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Probability-generating function – Wikipedia

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