如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)…

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)…我的公众号“每日晴天”,可关注领取我的笔记pdf版哦~一、向量1、简单的高中那些就不说了….2、左右手系:右手系:将右手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为右手系。左手系:将左…

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一、向量

1、简单的高中那些就不说了….

2、左右手系:

右手系:将右手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为右手系。

左手系:将左手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为左手系。

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3、单位向量的方向:设向量

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,p的长度为
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,则它的单位向量可以表示为
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所以向量投影的定义为:

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其中方向余弦是:

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三个方向余弦的平方和等于1,

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4、向量的内积:两个向量a和b的内积记作

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,定义为下面的实数,
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,若a与b中有一个为0的向量,则
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其中:

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5、对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,有

(1)若

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,则
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(2)

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(3)

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(4)

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6、向量的外积:

(1)定义:两个向量a与b的外积记作

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,它仍是一个向量,将其长度规定为:
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,它的方向规定为与a,b均垂直,并且使
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 成右手系。

(2)性质:

①若a,b中有一个为0,则a×b=0。

②a×b=0的充分必要条件是a与b共线

外积的几何意义:当a与b不平行时,

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 表示以a和b为领边的平行四边形的面积。

(3)外积的计算性质:对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,外积有

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ;②
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ;③
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(4)外积的计算:设

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为了方便记忆可以写成:

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7、向量的混合积:

(1)定义:三个向量a,b,c的混合积记作(a,b,c),它是一个数,规定

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(2)几何意义:以三个非零向量a,b,c为棱作一个平行六面体,其底面积为|a×b|,高为

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,其中θ为c与a×b的夹角。于是该平行六面体的体积为

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(3)在空间直角坐标系中建立混合积的坐标表达式:

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从而有:

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注意,有的地方是写成

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此时他们定义的混合积是:

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二、空间平面及其方程

1、平面的点法式方程:π平面的法向量

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如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 是π平面上的一点,因此其

平面方程为:

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(其实很简单,记住原理使法向量和平面上的一条向量垂直就可以了)

2、平面一般式方程

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,其中
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ,这个方程称为平面的一般式方程

(1)设C≠0,则方程可以化成:

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对照平面的点法式方程,我们可以知道这是一个

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法向量的平面。

(2)特点:

D=0时,方程表示一个过原点的平面。

当D≠0时,若A,B,C中只有一个为零,则平面平行于某个坐标轴

(如只有C=0时,平面的法向量与z轴垂直,因此平面平行于z轴)

③当D≠0时,若A,B,C中只有一个不为零,则平面平行于某坐标面

(如只有A≠0,则平面的法向量平行于x轴,因此平面平行于yOz面

3、平面的截距式方程:当abc≠0时,平面

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x、y、z轴上的截距分别为
a、b、c,因此这种形式的平面称为平面的截距式方程。

4、平面的三点式方程:用三点可以确定一个平面,三个点都在这个平面上面,设

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如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 。则这三个点构成的三个向量他们的混合积等于0,所以得到方程

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5、两平面间的关系设两个平面:

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结论:

(1)两个平面重合

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(2)两个平面平行

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(3)两个平面相交

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6、同轴平面束:经过同一条直线所有平面的集合叫做同轴平面束。

设l为平面π1和平面π2的交线,则可以设λ1和λ2,就可以得到

直线l为轴平面束方程:

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三、空间直线及其方程

1、直线的点向式方程(或者叫直线的对称式方程):

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如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 是l的方向向量,

所以P(x,y,z)在l上

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 向量P0P平行于s

则有

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 。此方程称为直线的点向式方程。

2、直线的一般式方程:当

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3、直线与直线的关系:设两条空间直线:

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分析:l1过点

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l2过点

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两直线固定点的向量P1P2为:

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(1)共面与异面的判断:s1、s2、P1P2的混合积为0

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 共面,否则两直线异面。

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(2)共面后判断是否重合、平行、相交

①两直线重合

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②两直线平行

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如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 且不平行于向量
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③两直线相交

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 三个向量共面但s1与s2不平行
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四、直线与平面的关系,点和直线和平面的关系

1、直线与平面的关系:

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记s为l的方向向量

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... ;π的法向量为
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(1)l在π上

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... s

垂直于n,且点

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满足平面π的方程

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(2)l与π平行

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 方向向量s与n垂直,但是点
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不满足平面π的方程

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(3)l与π相交

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 方向向量s与n

不垂直

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(4)l与π垂直

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... s//n(即

s×n=0

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2、直线与平面相互之间的夹角(都是锐角)

l1、l2的方向向量分别为s1,s2。平面π1和π2的法向量分别为n1和n2。

(1)两条直线的夹角:s1和s2的夹角为θ,把

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... (因为两直线的夹角一定为锐角)称为两直线的夹角。
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(2)两个平面的夹角:n1与n2的夹角是θ,把

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... (因为平面的夹角一定为锐角)称为平面的夹角的夹角。
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(3)平面与直线的夹角:设s1和n1的夹角为θ,把

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 称为直线l1与平面π1的夹角。有
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3、距离问题:

(1)点到直线的距离:

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 是空间一定点,过点
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 且方向向量为s的直线用
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 表示;点P0到l的距离用
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 表示。

设θ为向量s与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到有

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又因为从外积公式得到

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所以

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)...

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(2)点到平面的距离:

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 是空间一定点,过点
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 且法向量n的平面用
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 表示;点P0到l的距离用
如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)... 表示。

设θ为向量n与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到,

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)...

内积公式可以得到

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所以可以得到:

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)...

9b339e6df3bec88e3ee2cb64151bb1ca.png

(对于π平面的方程为:Ax+By+Cz+D=0,

则公式为

如何将一个向量投影到一个平面上_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)...

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