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前言：

上一章里面我们主要针对韦伯分布的基本公式和意义进行了阐述，本章我们深入一点，针对韦伯分布的公式里面的三个重要参数的作用和意义进行详细讨论。
韦伯分布从诞生起，就因为他分布的多样性，导致适用于很多不同的应用场景。支持这种广泛应用的基础是，这3个参数的变换可以带来分布的显著的改变。

1 韦伯分布的三个参数概率分布方程：

【案，这些分布方程在（1）章我们已经必须详细的介绍了各种类型和推导，现在还是列出3参数的公式。】

1.1 概率密度函数PDF（f(t)）

话不多说，韦伯分布的最详细的表达式，我们在上一章已经表述。那就是三参数的韦伯分布。
其概率密度函数PDF表达式和图形如下：
$$f(t;\beta ,\eta ,\gamma )=\{\begin{array}{ccc}\frac{\beta }{{\eta }^{\beta }}(t-\gamma {)}^{\beta -1}{e}^{-(\frac{t-\gamma }{\eta }{)}^{\beta }}& t,\beta ,\eta >0& \\ 0& 其他情况& \end{array}$$

• β (shape parameter 形状参数) 又被称为 weibull slope 韦伯斜率
• η (scale parameter 缩放参数）
• γ (location parameter 位置参数，又被称为 threshold 阈值参数)
  

1.2 累计分布函数CDF（F（x））

$$F(x)=\{\begin{array}{ccc}1-e^{-(\frac{x-\gamma }{\eta }{)}^{\beta }}& x\ge 0& \\ 0& x<0& \end{array}【通用表达式】$$

• x 为随机变量 (continuous random variable)[案，大多用t表述]
• β 为形状参数 (shape parameter）
• η 缩放因子 (scale parameter）
• γ 位置参数 (location parameter)
  

【案，那么这三个参数对韦伯分布有什么影响呢？我们往下看】

2 三参数对概率分布函数的影响分析

2.1 Shape 形状参数β 又称为韦伯斜率Weibull slope

β 参数对概率分布有巨大的影响

2.1.1 β =1 韦伯分布转为2参数的指数分布 two-parameter exponential distribution

2.1.2 β =2 韦伯分布转为2参数的Rayleigh distribution(瑞利分布)

2.1.3 β 变化下的PDF概率密度

【案，β 显然不虚为韦伯斜率，她决定了该图形曲度的弯曲方向】

2.1.4 β 变化下的Cumulative Distribution Function – CDF（失效函数）累计分布

CDF正如他的定义，反映了某个时间之前的失效的概率的和（The Probability of Faiure up to the specific time ）。

【本图为摘录，β=k,η=λj,在相同的η下，β的变换导致了曲率的变换】
【案，也许你注意到了，上述两个图像的不同，一个是线性直线，一个是曲线，附录有一个链接很仔细的讨论了这个问题，这里不展开了。】

2.1.5 β 变化下的故障率函数（Hazard Rate or Failure rate Function）

This is one of the most important aspects of the effect of β on the Weibull distribution. As is indicated by the plot, Weibull distributions with β < 1 have a failure rate that decreases with time, also known as infantile or early-life failures. Weibull distributions with β close to or equal to 1 have a fairly constant failure rate, indicative of useful life or random failures. Weibull distributions with β > 1 have a failure rate that increases with time, also known as wear-out failures.
形状参数 β 最重要的实际应用就是这里， β < 1表述随着时间的增长，故障率反而降低，这个经常用来表述系统的应用早期，比如系统磨合时候故障率高，随后降低。β =1 为系统稳定工作时期，这时候，出现故障应都是随机故障。 β > 1则为系统长时间应用，已经发生了系统磨损或者老化，故障率随时间增加而增加。
【案，故障率函数定义，请查阅（1）章的定义】

如果我们把β的变换的三个不同类型的图形，放在一起，那么就构成了一个系统的全生命周期的图谱。
也就是经典的浴缸曲线”bathtub curve.”

【案，横坐标这里默认是时间，实际上也可以是样本的使用的频度等和时间类似的样本概念】

2.1.6 保持β=1 下的PDF函数@缩放参数η的变换

【红色η=0，绿色η=1，蓝色η=1.5，紫色η=3，η越大，图形月扁平】

2.2 Scale缩放参数η

【案，显然，缩放参数η 对PDF的函数进行了“按压”，越大图形约扁平，越小图形越陡峭，同时要注意的系统期望也发生了偏移，比如红色图形对比蓝色想右发生了移动。】

2.3 location 位置参数γ

【参数γ，在PDF中，可以用来调整最低可能发生的事件概率值，也许有的系统可以有负的样本定义工作周期】

2.4 Shape和 scale参数的组合变换控制图形的偏度：

2.4.1 Right-Skewed右偏

2.4.2 Normal普通分布，高斯对称分布

2.4.2 left-Skewed左偏

名词参考

指数分布（Exponential Distribution）

【指数分布的特点，系统的很少的频率发生很高概率的事情，所以也是一种非记忆性概率实践】

Normal Distributions （高斯分布）

高斯分布是统计学里面经常用到的重要分布，又被称为normal distributions,或者， bell-shaped curve ，他的数学期望是对称分布symmetric的。比如考取平均成绩的学生数量为最多，高分和低分的学生对称的减少就非常符合这个模型。类似，还有很多自然的统计结果和他类似，例如人类的平均身高，血压的均值、测量的误差等等。

上图是一个14岁女孩身高的统计数据分布。

文献参考

Weibull Distribution韦布尔分布的深入详述（1）原理和公式
Weibull Distribution: Uses, Parameters & Examples
Characteristics of the Weibull Distribution
指数分布Exponential Distribution
Weibull分布(韦伯分布、威布尔分布)
普通分布
CDF曲线的读取和线段曲直的讨论