数学命题的证明就是盲人摸象——溯因推理包含演绎推理

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摘要：数学思维必须符合逻辑，演绎证明某事肯定是，归纳说明某事在实际上是有效的，溯因仅仅表明某事可能是，所以溯因是推理中较弱的一种形式。溯因整理成为一个命题叫做猜想（证明猜想是告诉你结果，让你按照规则找出原因-过程的必然性，把道理讲清楚）。

我们证明一个数学命题就是一种整体上弱势溯因推理，每一个局部需要强势演绎推理，这是难以克服的困难——超出了人类解决问题的能力！

况且，一个事实可能有多种原因，我们要找到那个必然的原因，并且用演绎推理证明就是它。好比逆水行舟，又好比盲人摸象。

我们讲的溯因逻辑，和我们说的演绎逻辑和归纳逻辑有什么关系？

演绎是从一般到特殊，归纳是从很多特殊到某一个一般。但是，溯因逻辑是从一个现象或者一个结果，反推出可能存在的原因。而证明这个可能的原因必须按照演绎推理的方式，首先找到一个大前提，（例如证明哥德巴赫猜想需要找到一个素数普遍公式）。

因为人永远需要理由，解释永远需要解释来解释。数学家用公理把数学推理的无穷退后阻断，防止无休止的循环论证。公理让数学有了合法性。

数学思维最基本的单位是概念，比概念大一些的思维单位是模型，我们用概念为事物分类，建立对象。模型可以是命题和公式，它包含了多个概念，我们用模型建立概念间的关系，把握概念的关系。概念又分为多种，我们只能把握普遍概念和单独概念，不能一次性把握集合概念。（详见后面内容）

      理性，最基本的要素是概念和关系。概念和关系组成命题，具有判断功能。就是词项和连接词，用词项把握对象，用连接词把握对象之间的关系。

数学概念极为复杂，所有的數学命題，無論主項還是謂項。

一，按照: 屬性還是實體劃分

1，屬性概念（例如圆周率）。

2，實體概念（例如，肥婆那也数）。

3，屬性包含實體概念（例如费马素数）。

4，實體包含屬性概念（例如孪生素数）。

需要說明的是，如果主項和謂項都不是屬性概念，僅僅是實體概念，那就是恒等式，例如二項式“定理”，其實不是定理，只是恒等式。因為沒有屬性事物不能算定理。

但是，要求二项式结构具有一种性质，则是定理，例如斐波那契数列如果要求是一个素数；

  。如果要求它们必须是素数的话，公式中的二项式就是有属性。

二，按照性质

详见后面的：单独概念，普遍概念，集合概念，非集合概念。

三，按照动态逻辑层次

有一阶逻辑命题概念，二阶逻辑命题概念（变化率的变化率，例如费马大定理，黎曼猜想，华林问题，….。

人类认知最基本的关系是就是理性，认识世界第一推动力就是差异！

（一），我们建立对象关系把握关系为了什么？

        是为了有效的判断。

命题就是带有判断功能的语句，概念的本质是事物的差异，就是不同事物的否定（概念无限否定性，例如梨子不是馒头，不是包子，不是鸡蛋，….。），多个概念在连接词的作用下形成判断语句。

错误的句子无法判断。

举例一个：

大家知道，有一个著名的庞加莱猜想，这个猜想为什么狗屁不通？

1，庞加莱猜想的内容为：

任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

2，主项与谓项

主项是【三维流形】，还有修饰限定主项的定语：单连通和闭流形。

谓项是【三维球面】。

3，主项与谓项的关系

在数学中，三维球面是一个具有三个维度的几何客体，这样的几何客体都可以归类为三维流形。

就是说，主项的内涵与外延全覆盖谓项。当主项与谓项具有同样的概念内涵和外延，，我们不是采用证明，而是采用种加属差定义的方法。

所以，将庞加莱猜想（命题）用定义方法：“三维球面就是一个单连通的-闭的三维流形”。

主项与谓项是；a，种属关系。2，是一种真包含关系。3，是传递关系。

全称判断的命题通常涉及到一个总体的所有成员都具备某项性质，如果主项包含谓项，就会以偏概全。例如“所有的学生（外延宽的）都是小学生（外延窄的）。这种命题要求对一个整体的每一个成员进行描述，而种属关系描述的是部分与整体的关系，无法准确反映全称判断的逻辑要求。因此，在逻辑推理中，种属关系不适用于全称判断的命题。

4，类似的定义：素数就是大于1并且只能被1和自身整除的自然数（定义是已经搞清楚的内容，将自然数划分为：自然数1，素数，合数）。

我们不能用命题形式：任何大于1并且只能被1和自身整除的自然数都是素数（命题是有待于证明的问题）。

5，主项表示判断句子主要说明的人或事物；谓项说明主项的动作，状态或特征-行为-属性等。

真包含关系用于判断，常常出现错误：例如“所有的学生（外延宽的）都是小学生（外延窄的）”，把本应“所有的s是p”，说成”所有的s是s的一部分“。

判断句子主项不能包含谓项。或者说命题的主项不能包含谓项。

7，数学命题的谓项一般说主项有多少或者主项是什么性质，，例如命题【素数有无穷多】素数与无穷多是全异关系；【e是超越数】在证明之前e与超越数是全异关系，因为e指自然对数的底数，是一种无理数-实数，超越是指一种属性，证明之后是种属关系。

看到没有？一个错误的句子不具备判断的功能。

全称判断的两个概念只能是全异关系，不能是真包含关系。

命题的主项和谓项是全异关系，证明之后建立了交叉关系或者其它关系。

 （二），为什么数学需要逻辑呢?

       因为数学是研究数量-空间结构-数量和空间结构的变化，我们面对的情况是复杂的和变化的，常常需要从一个时空到另外一个时空，从一个命题推出另外一个命题，从一个判断中得到另外一个判断。

      我们从已知命题推断出未知命题的行为叫推理，已知命题叫前提，未知命题叫结论。我们证明一个结论的系统化行为，叫做论证。

    逻辑就是确保这些推理和论证能够有效的规则。逻辑学就是研究这些有效推论和论证规则与标准的学科。

（三），逻辑为有效性推理提供了合法性，逻辑的合法性即逻辑起作用的底层原理是什么？

         逻辑的本质内涵是：通过老概念理解新概念，通过已知命题来推断未知命题。从老范畴中得到新范畴。

        逻辑本质是处置我们心智中的问题和扩大我们的认知范围。

        这种扩大有三种有效路径：

1，演绎推理，就是从大范畴中找到小范畴的推理；前提与结论是蕴含关系。得出的结论是必然判断。

2，归纳推理，从众多小范畴中找到大范畴的推理；

3，类比推理，在相似的范畴之间找到共性的东西和不同的东西。

我们借助从老命题引向新的命题-从已知引向未知的。

         只有演绎推理形式是必然有效的，因为大范畴的存在，是小范畴存在的充分条件，所以，演绎推理是必然的因果关系推理。

         而归纳和类比推理不是，逻辑上也不会用有效性与否来评价这两类推理，只会说归纳强度和类比的可接受性。所以也叫或然性推理。数学定理不能是或然判断。数学归纳法产生的不是定理，因为归纳无法产生属性。

（四），溯因推理是形成一个说明假说过程。它是唯一的引导新思想产生的逻辑操作。归纳只能进行评价，演绎能从假说中推断出必然的推论。

      演绎证明某事肯定是，归纳说明某事实际是有效的，溯因仅仅表明某事可能是，溯因整理成为一个命题叫做猜想。

      对溯因形成的猜想是不可靠的，唯一辩护是从猜想的建议中能够演绎出一个预言（假说，数学中叫猜想），这个预言（猜想）能够被归纳检验（例如哥德巴赫猜想：3+3=6，3+5=8，….，。）。如果我们要完全认识和理解这个现象，必须通过系统性溯因才能达到（证明）。

逻辑的本质就是必然得出。

五，所以，逻辑的合法性来自于形式的合理性，而形式的合理性来自于实践的有效性。溯因达到严格的推理-论证才能叫做定理。

在这里必须是没有任何模糊性，论证中的一切推理应该井井有条，一切细节环环相扣。结论的正确性建立在前提的正确性和真实性基础上。

（一），溯因的逻辑规则是广义的论证规则，符合逻辑规则的我们就接受，不符合我们就拒绝。

逻辑凭什么有这样的心理机制，支撑这种有效性，这些现象是怎么产生的，其理由产生的强制力，心理强制力是怎么来的，为什么能够左右我们的判断，一个人为什么会被说服。

（二），什么是理性，理性这个不存在的东西，它哪里来的力量？

我们死死看着论证，论证如何从现实世界到经过精神世界再到我们语言世界中运行，我们的心智如何参与其中的。

论证的定义：一种推理形式，它是通过某一种真实的判断，来判断某一个判断的真实性的过程。我们知道判断，这是我们心智对外部世界的肯定，或者否定思维过程。

（三）我们判断的依据是什么？

语言或者作为理由的语言，语言必须是清晰的，没有歧义的，符合语法的。语言的正确与否影响我们的判断。这一切和我们人类理性中那个“溯因”机制有关系。

六，判断基本形式，肯定和否定，是一个结果，导致这个结果的理性活动，那个思维基本形式叫做试推，也被译作溯因。试推是我们思维的基本形式。从现实世界到心理世界再到语言世界。

判断是以一个或者多个试推完成的一个结果。

试推的基本形式是在（现实世界）观察到一个事实b。这个理所当然的b，

b是由命题a带来的，所以有理由相信a是真的。（例如，干旱造成庄稼干枯或者一些死亡了，下雨以后庄稼复活了，雨水a带来了庄稼复活b）我们心智暂时无法理解的事件，我们也能（在心理世界）进行判断。我们居然能够对事物进行肯定或者否定。

这个事实让你不那么惊讶，而且变得理所当然了，而且没有更好的说法，你就有理由相信，这个就是溯因逻辑。

七，溯因要得是一个结果，判断没有什么了不起，动物也会判断。

      但是，溯因，在语言中溯因。然后形成判断，指导判断。

这是一种非常神奇的能力，判断落实到语言中，就有了语言断言（语言世界），断言就是具有判断功能的命题。

命题是什么，命题蕴含了概念和概念的关系，它是词项和连接词组成的事物。表征了外部世间事件的对象，以及对象之间的关系、于是就有了知识，概念是数学的核心。

我们发现，只要符合某些规则，就可以从一个命题推出另外一个命题，从一个断言推出另外一个断言，我们把这个过程叫做推理。

我们又把那个大规模的推理，那个更加系统的推理叫做论证。

于是，我们的语言和知识的范畴不断扩大，结下了一张命题的网络——断言之网。我们通过断言之网理解我们的世界。

从事态的判断（现实世界到心理世界），从判断再到断言（语言世界），我们的某些规则就是指这些语言和语言联系的规则，它是语言之间的：断言到断言的那个推出关系（纯粹的非洲人不会通过断言推导，以至于非洲人无法学会数学-物理学，最近有非洲女孩会下国际象棋，惊动了人类学家）。

逻辑最终目标就是确立一套语言说的规范，从而确保我们思维的有效性。然后最终确保我们对世界认识的正确性。

我们讲的溯因逻辑，和我们说的演绎逻辑和归纳逻辑有什么关系？演绎是从一般到特殊，归纳是从很多特殊到某一个一般。但是，溯因逻辑很奇怪，它是从一个现象或者一个结果，反推出可能存在的原因。我们理解世界生产知识一个三角关系。

一个结果或者一个理由，会有很多原因，但是最根本的原因是我们没有暂时理由否定。

一个命题必须在其它命题限制之下才能成立，必须在无限延迟的否定中介之下，所有的能够否定的都被否定了，剩下的就是暂时的真理。

因为人是理性动物，人永远需要理由。

理性为什么有力量？因为人永远需要理由，解释永远需要解释来解释。

数学家用公理把数学推理的无穷退后阻断，防止无休止的循环论证。公理让数学有了合法性。

当有了足够强大的溯因推理，有了足够的最佳解释，我们就可以结出一张理由之网，也是逐渐增大的循环论证之网，来间接认识这个世界，因为还有一个人类无法逾越的精神障碍——可证伪。尽管你建立了复杂的重言式，但你仍然被限制在如果（溯因假设）的条件范围内。

数学由于有了最先的公理体系，我们不能再让循环论证出现。

      解释就是建构一个重言式，并且最大可能地确保其中连接的有效性，即使是不言自明的，这一重言式永远不会令人完全满意，因为没有人知道未来会发生什么。它颠倒了我们对人类理性的理解，它揭示了我们以语言符合为运思材料的理性思维内在悖论。例如最近的超弦理论不可证伪，人们还是接受它，因为用现有理论无法否定它。

八，数学命题证明的限制

由于数学定理必须是全称判断，即一切A是B，所以主项的A只能是普遍概念或者单独概念。

全世界的数学定理的主项都是普遍概念或者单独概念，世界上没有任何一个数学定理的主项是集合概念。命题中概念出现多种属性就会破坏判断的合理性。

概念的種類：

（1），單獨概念和普遍概念

a，單獨概念，反映獨一無二的概念，單獨概念的外延只有一個。例如，上海，孫中山，，，。數學中的單獨概念有“e”“Π”。“e是超越數”就是一個單獨概念的命題。

b，普遍概念，普遍概念反映的是一個對象以上的概念，反映的是一個“類”，這個詞項的內涵由為了包含在詞項外延所必須具有的事物的性質組成。

就是说，普遍概念的每一个个体必然具有这个概念的基本属性。例如：工人，無論“石油工人”，“鋼鐵工人”，還是“中國工人”，“德國工人”，它們必然地具有“工人”的基本屬性。數學中的普遍概念有例如“素數”，“合數”，等。“素數無窮多”就是一個普遍概念的命題。

（2），集合概念和非集合概念。

a，集合概念反映的是集合體，這個詞項的外延由詞項所應用的事物集合組成，例如“中國工人階級”，集合體的每一個個體不是必然具備集合體的基本屬性，例如某一個“中國工人”，不是必然具有“中國工人階級”的基本屬性。集合概念的命題是不需要證明的，也是無法證明的，只能是歸納總結。

b，非集合概念（省略）。

（3），一个结果有多种原因的二阶逻辑数学命题溯因无法用逻辑语言一次性断定

  集合概念的主项无法一次性断定，因为集合概念外延的内涵不一定是一致的。逻辑语言无法有效地统一这个判断。当一个结果有多种原因，对结果的溯因无法针对多个原因定位。例如费马大定理和黎曼猜想等。这是变化率的变化率，人类不能突破二阶逻辑的制约，强行一次性断言一个有无穷多个变化率的变化率的命题，超越了人的认识能力，那是神的工作。

八，除了溯因推理可以引导发现新认识，还有一种反常的路径——数学叛乱

人类在已经存在的科学范式下探索-解题-增加例证。使得我们相信我们应该继续沿着前辈开发的道路前进。无限进步理论告诉我们认识的规律，只有质疑已有的范式才能突破创新。科学团体允许自己的理论被大破大立，画魂索命（这一点与宗教团体和政治团体不同）。无理数，集合论，非欧几何，….。都是在全面否定以往认识的局限以后发展的。

九，机器能够代替人脑越过瓶颈吗

数学定理要求全称判断：一切A是B；全称判断主项必须是普遍概念或者单独概念；普遍概念就是按照属性定义的；机器不能判断属性，因为，判断属性不是机器的工作，例如判断一个人的性别，是生物化学的工作，染色体xx是女性，xy是男性。所以机器证明数学定理是荒唐的。