自然常数“e”：工程中的自然数“1”

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客观世界中，无论是微观粒子还是宏观宇宙，都在不断运动与变化。我们通常利用函数表达某一自然现象的状态，并通过变化率来描述状态的变化过程。

基本概念阐述

• 状态量：用来描述事物当前状态的量，例如一根竹子的长度为5米，一个人的体重为50千克。
• 状态量的变化率：对应于导数的概念，即在无穷小的时间间隔内，状态的增量与时间增量之比。
  $$f^{\prime }(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}$$
• 单位状态量的变化率：则是状态量变化率与其对应状态量的比值。
  $$\overline{f^{\prime }(t)}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}\frac{1}{f(t)}=\frac{f^{\prime }(t)}{f(t)}$$

这里强调了状态量变化率与单位状态量变化率的区别，前者关注整体变化趋势，后者则反映局部变化规律，且局部变化往往不受总体状态的影响。

实例分析：竹子生长问题

假设有一根竹苗初始长度为1米，连续生长，单位增长率为100%/year/m。要求解一年后的竹子长度。

学渣的错误解法：
$$(1+\frac{100\%}{1}{)}^1=2m$$
此解忽略了竹子持续增长的动态过程。

学霸的改进解法：
逐月计算，每月增长率均为100%/12/month/m，一年累计增长为：
$$(1+\frac{100\%}{12}{)}^{12}=2.613m$$
逐日计算则得：
$$(1+\frac{100\%}{365}{)}^{365}=2.714m$$

不过上述解法依然未能精确捕捉到连续增长的本质。真正解决问题的方法依赖于极限概念，其中涉及自然常数“e”的定义：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{100\%}{n}{)}^n$$

欧拉证明了该极限存在且收敛于数值约为2.718，记作 $e$，由此引出自然常数“e”的定义：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$$

设 $y=\frac{n}{x}$，则当 $n\to \infty$ 时，$y$ 也将趋于无穷大，因为 $x$ 是一个固定的值。于是，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n/x}\right)}^{n/x}=\underset{y\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{y}\right)}^y$$

由于 $\frac{x}{y}$ 在 $y\to \infty$ 时趋于0，这个极限形式与e的定义相似，只是分子分母做了比例调整，不影响极限的结果，所以有：
$$\underset{y\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{y}\right)}^y=e$$

最后，将上述极限的结果乘以 $x$ 次幂，利用指数运算法则（$(a^b{)}^c=a^{bc}$），我们得到：
$${\left(\underset{y\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{y}\right)}^y\right)}^x=e^x$$

进而可推出：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }((1+\frac{1}{n/x}{)}^{n/x}{)}^x=e^x$$

对于单位状态量变化率为固定值的系统，其状态可以用以自然常数e为底的指数函数表示：

$$f(t)=e^{xt}$$

若 $x=100\%$，则有：
$$f(t)=e^t$$

并且从该形式可得一个重要结论：
$$100\%=\overline{f^{\prime }(t)}=\frac{f^{\prime }(t)}{f(t)}$$

这意味着指数函数 $e^t$ 的瞬时变化率恰好等于其当前状态值，这是e的一个内在属性，在定义e时便已蕴含其中。

总结

自然常数“e”的意义在于：对于单位状态量变化率为固定值（如100%）的系统，它代表了一个单位时间内连续翻倍增长能达到的极限值。例如，在年利率为100%的情况下，一年中无论存款次数多少，最终极限收益为e元。更深层次讲，e揭示了自然界中许多事物连续、指数型变化的普遍模式，体现了自然界中连续变化状态的本质。简而言之，“e”象征着连续性。

参考：自然常数“e”，工程中的自然数“1”