张宇八套模拟卷中极限与间断的概念题高等数学

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这是张宇八套卷中的一道概念题，出的非常好，它能够将极限不存在的所有情况和间断点的相关知识都串起来。

1. 我也想借这道题来帮大家回顾下相关知识，希望在冲刺阶段有所帮助。

2. 首先看见前三个命题就能知道，这道题要考察极限的存在性，而对于有定义的函数，它的极限不存在无非这三种情况：振荡、无穷大和左右极限存在且不相等。对应的例子都写在了右边，大家可以扫一眼回忆一下。

3. 这道题题目说了单调有界，单调就干掉了振荡的情况，有界就干掉了无穷大的情况，所以这道题极限不存在就只能为左右极限不相等这种情况了。用这些知识就可以立马判断出命题 2 是错的，3 是对的。

– 因为 2 没法排除这种情况的产生。

– 3 是因为极限不可能出现振荡和无穷的情况，所以就没有振荡间断点和无穷间断点。

– 第二类间断点是不可能了，自然只能是第一类。

– 然后再看 1，1 研究的是单侧极限，不是双侧极限，也就不存在这种左右极限不相等的情况。

– 最后一种极限不存在情况也就被排除了，所以此时极限只能存在，1 就是对的了。

4. 最后再来看抽象的第四个命题，先取一个逆否命题，fx 不连续，那么它就取不到 fa 与 fb 之间的所有值。

– 由第三个命题知道，f(x)在[a，b]上不连续→f(x)取不到 f(a)与 f(b)所有值。

– 由第四个命题知道，f(x)的一切不连续点都是第一类间断点。fx 不连续只可能为第一类间断点，而第一类间断点无非跳跃和可去两种。对于可去间断点而言，要么这一点的函数值不等于极限值，要么就是没定义。然而函数在 a、b 是有定义的，那就排除了这种情况，函数单调又排除了另一种情况，所以这个函数不可能有可去间断点，只能有跳跃间断点了。而跳跃就会跳过一部分函数值，且在函数单调的前提下，后面的函数值也不会补上这些跳过的值。

5. 因此，它取不到 fa 与 fb 中间的所有值，所以这个逆否命题是对的，原命题也是对的。这道题就是 134 是对的，选 d。

这道题就讲完了，这视频到此结束。