神秘的拓扑学，起源于游戏的数学，柔软的数学

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数学游戏，作为一种运用数学知识的大众化的智力娱乐活动，因其趣味性，往往容易激发人们的数学热情与兴趣，因而对普及数学而言是非常有益的。另一方面，从历史角度看，数学游戏还曾对数学的发展起到过重要而积极的作用。特别是，它曾直接导致过新的数学分支的创立,拓扑学就是典型的例子。

01 柯尼斯堡七桥问题

如柯尼斯堡七桥问题，常被作为是拓扑学所研究的第一个问题，柯尼斯堡城建于1255年，原是德国东普鲁士的一部分。第二次世界大战后，划归前苏联（现属俄罗斯），并被更名为加里宁格勒。这座名城在数学上经常被提起源于与它有关的一个著名数学问题。

这一问题远溯至18世纪初。当时有一条名为普雷盖尔的河从柯尼斯堡城中穿过，河中有两个岛，河上有七座桥连接着这两个岛及河的两岸。如下图所示。

柯尼斯堡城的居民喜欢沿着城市的河岸和岛屿散步。不知从何时起出现了一个有趣的娱乐问题：能否找到一条路线，可以经过所有七座桥，但不重复经过任一座桥（而且回到起点）？

这一问题后来传到了伟大数学家欧拉耳朵里，并引发了他的研究兴趣。1736年，欧拉向俄国科学院提交了一篇论文，彻底解决了这一问题。

欧拉先是把问题做了简化处理。他用点代表陆地，用线段或弧代表桥，具体一点说就是用A、D表示两个小岛，点B、C表示河的左右两岸，再用连接两点的线表示桥，这样就把原图变成了一个由四个点和七条线组成的新图形。

在经过这样的抽象后，原来的问题相当于问：能否用一笔画出上面的图。于是，”柯尼斯堡七桥问题”转化成一个”一笔画”问题。如果上图能一笔画成，就说明”一次连续走过七桥而无重复”的走法是存在的；反之，如果能证明不可能一笔画出上图，就说明这种走法是不存在的。

随后，欧拉先研究了一个更一般的问题：什么样的图形能一笔画出。

要想一笔画出一个图，总要选一个起点，选一个终点，还要经过一些中间点。也就是说，一笔画的过程是点、线相间排成一连串：起点-线-顶点-线……线-顶点-线-终点。起点可以由几条线汇合，但是画图时，总是先从它出去，然后进来出去几次（进出一次，得到两条线：进来是一条线，出去也是一条线），而最后一次是出去的，所以集中在起点的线只能是一条、三条、五条……即是奇数条。终点是先画进去，然后出去进来几次，而最后一次是进来的，所以集中在终点的线也只能是奇数条（这样的点我们称为奇点）。作为中间各点，有一条”进入线”就有相应的一条”离开线”，应是进去出来的次数相等，即每一点上都只能有偶数条线（这样的点我们称为偶点）。

因此简单说，中间点一定是偶点。于是，如果起点与终点是不同的两个点，则只有起点和终点是奇点，共两个奇点；如果起点与终点重合，即最后又画回到起点，那么起点、终点也成了偶点，这时所有的点就都是偶点了，即奇点数为0。

由此，我们可以看到一个结论：一个图能否一笔画出，是由它的奇点的个数来决定的。能一笔画的图形，其奇点的个数只能是0或2。

最后将这个结论应用到具体的七桥问题上。要不重复地走完柯尼斯堡的七座桥，那么转化后的图中奇点个数只能为0或2时才能做到，如果加上回到起点的要求，那么奇点个数只能为0。但可以发现，上图中的奇点个数有4个，因此可以下结论说，这样的散步路线是不存在的。

02 欧拉对七桥问题的圆满解决，成为拓扑学的先声。

就这样，欧拉通过抽象分析思考把七桥问题化归为”一笔画问题”，并以令人难以置信的轻巧解决了一笔画的可能性问题，从而圆满地解决了柯尼斯堡七桥问题。对数学而言，欧拉这一颇受赞誉的研究更重要的贡献在于它拓宽了数学的研究领域。

在论文的开头欧拉曾写道：”讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心研究着。但是，还有一个至今几乎完全没有探索过的分支；莱布尼兹最先提过它，称之为’位置的几何学’。这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也不涉及量的计算。但是至今未有过令人满意的定义，来刻画这门位置几何学的课题和方法……”欧拉文章中提到的这门新的几何学分支现在被称为拓扑学。

正如欧拉所提到的，在这门新几何中我们平常所熟悉的距离、大小是无关紧要的，直线、圆、角度等也失去了意义。它所关心的是图形在弯曲、拉伸、压缩或扭转等连续变换下保持不变的拓扑性质。正因为研究这类性质，所以拓扑学获得了一个更为通俗的叫法”橡皮几何学”。

在拓扑学上，欧拉做出的另一重要贡献是发现并证明了简单多面体的欧拉公式：V-E+F=2，其中V是顶点的个数，E是棱的个数，F是面的个数。为纪念欧拉的这一重要发现，德意志民主共和国还曾发行了如右图所示邮票。

高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。

在1847年，J.B.利斯廷根据希腊文τόπος和λόγος（”位置”和”研究”），提出Topology这一数学名词，即拓扑学。Topology，直译是地质学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。这是拓扑学的萌芽阶段。

1851年，德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的。他的主要兴趣在流形。

在1895~1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

03 简说拓扑的理解及应用

举一个简单的例子来说明 究竟什么是拓扑学吧。

骰子和台球在什么理论里是同一种东西呢？答案是在拓扑学的分析里就是一个东西，但是台球和甜甜圈就不是一个东西，原因就是因为那个洞吗…嗯嗯，确实是因为这个洞，所以拓扑学也被戏称橡皮泥几何学，这样一来，我们通过拉伸、挤压等操作能够互相转化的都是一个东西，但是甜甜圈有个洞，光靠捏就不行了，只有通过钻孔、撕裂、粘合等操作才能把没洞的台球变成甜甜圈，所以台球和甜甜圈在拓扑学里也是两种东西。

可以说 拓扑学(topology)可以这样定义，是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。因此只要是一个胚子能够捏出来的形状，在拓扑学中都是同一个东西，这种概念叫做”同胚”。那么面包圈和什么东西是同一种东西呢？比如说水管，甚至人体……

例如，任意一个三角形在任意的延伸、伸缩的变形变换中，可以迭合住一个圆形。所以这个延伸、伸缩变换是一种同胚变化，因而三角形和圆形在拓扑上被视作同胚或等价的。

但是事实上，杯子无法捏成甜甜圈的模样，因为杯子都是瓷或塑料做的，它们都太硬。相对的，在拓扑学中研究的对象，都必须是”柔软”的，从某种意义上说就像可以流动的液体一样。然而，在传统的、基于内基的欧几里德空间（比如笛卡尔坐标系）中，得出甜甜圈等于杯子的结论是不可想象的。相应的，把基于欧几里德空间的几何学称为是”坚硬”的。

所以，有数学家幽默地评论说：”拓扑学家是一个不知道一只面饼圈与一只咖啡杯有什么差别的人。”

在拓扑学中，一个图形经过弯曲、拉伸等拓扑变换得到的图形与原图形是拓扑等价的。如下图所示，几个图形从拓扑学角度而言就是等价的。顺便指出，可以证明平面上地图与球面上的地图是拓扑等价的。因此在球面地图上也有与平面地图等价的四色猜想。

又如，掌心和指纹的纹理样式，所有的指纹都具有共同的特点，如环点和三叉点（三条线融合）。在1965年，英国医学遗传学家LionelPenrose指出掌纹和指纹服从一个普遍的规律：任何有5只手指的手，三叉点一定比环点多4个。（1979年他的儿子Roger使用拓扑学证明了这一规律）

当查看你的手相时，你会注意到很少一些类型的奇点。两种最基本的奇点类型是三叉点和环点。

指纹上所有其他的奇点可由这两种构造出来。没错，拓扑学就是这样的神奇并且有趣。

连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。

拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用，在众多自然学科和结构设计中也是非常实用的工具。

拓扑在现实生活中的应用注定是间接的,这和我们学了平面几何可以度量田地，学了立体几何可以架桥建屋，学了解析几何可以运用在计算卫星轨道等等，都不太一样。但拓扑的理论，支撑着许多数学理论的根基；拓扑的知识，会出现在很多工程问题的隐秘角落里，一眼看不到，但却非它不可。在物态变化，计算机图形学，医学图像处理，建筑设计，时空逆转与虫洞……小到微尘，大到宇宙，都会有拓扑的广阔用武之地。

拓扑是非常有用的，但是写这些小文不可能让人学会它的应用，小编只希望小读者们看了有所启发，在日后遇到费解的问题时，多一种思路，多一些灵感。