古代水手绳垫艺术、李萨茹曲线、傅里叶分析、扭结理论的神吻合

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一艘帆船在海中航行。微风习习，是休息的时候了。一个水手坐在木桶上，手里玩着一根绳子。粗大的手指在简单的绳子上做出最精细的形状。过了一会儿，一件艺术品在他手中成形，一个绳索花环放在了甲板上。

一个钟摆悬挂在天花板上，连接在天花板上的两根绳索承载着它的重量。固定在钟摆上的笔完美地随着钟摆往复运动，轻轻地划过地板上的白纸。笔在纸上划出最精细的弧线，动作缓慢而稳定。一个孤独的观众坐在钟摆边上，被纸上的曲线所吸引。一段时间后，钟摆稳定下来，曲线被束缚在中心点上。一幅美丽的钟摆画诞生了。

深夜，一位热情的科学家正坐在电脑旁冥思苦想一个数学问题。屏幕上出现了一个不规则的时间函数。他在键盘上按了几个键，计算机就开始分析这个信号。几秒钟后，时间函数被转化为图表中的条形，突然，函数的一些内在秘密被揭示出来。电脑屏幕上显示的是与黑暗背景形成鲜明对比的信号频谱。

这三个截然不同的故事之间有没有什么共同点？且听在下细细道来。

钟摆画

将钟摆的缆绳悬挂在天花板的两个点上，然后将缆绳一起引到悬挂点和重物之间的一个点上，就可以使钟摆在相互垂直的两个方向上以两个不同的频率摆动起来。

图1 A 简单的两点摆 B 两点摆装置

图1A显示了两点摆的工作原理。当摆的长部分L和短部分l之间的比例的平方根为2时，如果两个摆动之间的相位合适，就会画出一个8字。19世纪初，纳撒尼尔·鲍迪奇（Nathanael Bowditch，1773-1838）博士和詹姆斯·迪恩（James Dean，1776-1849）教授描述了这种钟摆。迪恩教授用两点摆来说明从月球上观察到的地球的表观运动[3]。图1B展示了由休伯特·艾里（1838-1903）在《自然》[6]中首次描述的两点摆。通过使用两根导线之间的滑动连接，可以改变两个振荡之间的频率比，并且可以在纸上创建各种各样的图形。笔连接到一个固定在铰链上的杆子上，这样笔就可以上下倾斜，并在纸上保持恒定的压力。压力可以通过平衡器来调整。这些数字也被称为李萨如（或Bowditch）曲线，以法国物理学家Jules A. Lissajous（1822-1880）的名字命名[5] 。

图2由钟摆绘制的李萨如曲线的例子

绳垫

丹麦绳索艺术家和作家卡伊·伦德（Kaj Lund1）多年来一直在收集和再造古老的绳垫和绳结。其中一些可以追溯到维京人的时代（公元800-1100年）[7]。最简单的模型之一是图3所示的长方形绳垫（或扩展垫）。对比图2和图3，可以看到矩形绳垫和李萨茹曲线几乎完全相同。

图3 矩形绳垫

李萨如曲线的数学原理

李萨如曲线可以很容易地用两个相互垂直的正弦函数来描述。如图4所示。

图4李萨如曲线可以很容易地用两个正弦函数进行数学描述

从数学上讲，李萨如图形可以用两个方程式来表示：

x = Ax cos(2πfxt) (1)

y = Ay sin(2πfyt) (2)

通过改变两个正弦形函数的频率之比fx和fy(图4)，可以得到不同的李萨如曲线。李萨如曲线的形状可以通过振幅Ax和Ay来改变。

也可以用两个频谱来表示李萨茹曲线，一个是x-函数，一个是y-函数。

矩形绳垫

我们发现，矩形绳垫和李萨如曲线几乎完全相同。出于这个原因，我们可以用与李萨如曲线相同的数学表达来表示矩形绳垫。图5显示了一些模拟的矩形垫子的示例。对于李萨如曲线，绳垫的形状主要由fx和fy两个频率之间的比率决定。

图5模拟矩形绳垫的例子

然而，矩形绳垫是最简单的绳垫之一。一个自然而然的问题是：有没有可能找到描述更复杂的绳垫和玫瑰花的方程式？让我们来看看下面这个玫瑰花结[9]。

玫瑰花结

国际绳结艺术协会的标志是一个四连环的玫瑰花结（图6）。”bight “（连环）是绳结创作者对环的称呼。

图6四连环的玫瑰花结

像四连环的玫瑰花结这样的曲线可以从螺旋线、装饰性拐角[10]和扭结图案[2]中得到。通过对螺旋线的研究，可以明显看出由两个旋转矢量产生的简单螺旋线曲线，其数学表达式可以用式(3)(4)表示:

x = Ax1 cos(2πfx1t)+Ax2 cos(2πfx2t) =A1 cos(2πf1t)+A2 cos(2πf2t) (3)

y = Ay1 sin(2πfy1t)+Ay2 sin(2πfy2t) = A1 sin(2πf1t)+A2 sin(2πf2t) (4)

如我们所见，该表达式包含x和y方向的两个频率分量，fx1，fx2和f1y，f2y。由于对称性，各分量在x和y方向上是相等的（fx1=fy1=f1和fx2=fy2=f2，Ax1=Ay1=A1和Ax2=Ay2=A2）。通过操纵这些部件，就有可能制作出更复杂的玫瑰花结。

两个频率分量之间的距离反映了连环的数量（图7）。通过从中心到外围画一条线，正频率（f2）的值定义了穿过该线的股数。通过改变频率分量之间的距离和位置，我们可以得到图7所示的玫瑰花结的几种变体。

图7模拟玫瑰花结的例子。

类似的图案可以用古尔德等人描述的双摆来实现。[11]。现在让我们更进一步，看看更复杂的绳垫。

交叉的玫瑰花环

图8显示了交叉的玫瑰花结的例子。左边绳垫上的交叉在中间重叠。中间的和右边的没有重叠。为了找到这些花结的数学表达，我们可以使用傅里叶分解法。

图8交叉玫瑰花结的例子[8]

为了进行分析，我们将玫瑰曲线转移到电脑屏幕上。运行的Matlab程序显示了一个坐标图背后玫瑰图案。通过沿着花结曲线从头到尾单击鼠标光标来完成采样(图9)。

图9玫瑰花结的取样

接下来，玫瑰花结的曲率被转移到一组坐标点上，由计算机计算出x-和y-函数。用傅立叶分解求出这两个函数的频谱。图10所示的玫瑰花结是由5个重叠的交叉制成的。从x-谱和y-谱可以看出，交叉的花结可以用三个频率分量来描述。频率分量之间的距离为5，等于玫瑰花结中的交叉数。

图10交叉玫瑰花结的频谱

通常情况下，频谱只由正频率成分组成。研究傅里叶分析的原始相位输出，我们可以得出结论，x-和y-频谱中的分量代表在两个方向旋转的矢量。这可以通过正、负两个频谱分量的图形来说明，并且非常清楚地显示了各个分量之间的恒定间隙。这一点在下面的示例中很明显。

现在可以很容易地对这些参数进行实验。通过改变振幅、频谱分量之间的距离或沿频率轴移动x分量和y分量，我们可以设计出新版本的玫瑰花结。图11和图12展示了交叉的玫瑰花结的4个例子。

图11 交叉的数量等于频谱中频率成分之间的距离

图12基频的值等于曲线围绕花结中心旋转的圈数

不同阶数的玫瑰花结

由于矩形绳垫可以用x和y方向上的一个频率分量来描述，这类绳垫可以称为一阶绳垫（自定义的概念）。同样，我们可以说四连环玫瑰花结是二阶的绳垫，而交叉花结是三阶的绳垫。利用傅立叶分析可以很容易地分析高阶的绳垫。下图提供了一些示例。

图13 传统的和新式的1、2、3、5、8、9阶玫瑰花结的数学生成

然而，用阶数来描述花环的特征，并不是一个确切的知识分支。阶数是一种最小数量的傅立叶分量，它可以描述达到一定视觉质量水平的玫瑰花结或绳垫。有些花结显然可以通过增加分量而得到更详细的描述，而有些花结可以通过较少的分量来描述，但质量会下降。因此，秩序可以在一定程度上描述一个垫子或花结的特征。

基于对一些传统花垫和花结的傅立叶分量的了解，我们可以用Matlab或WinPlot等二维曲线绘制软件来合成它们的图案。通过改变频率和振幅中的傅里叶成分，可以在每个单独的花结中制作新的绳垫和玫瑰花结的变体。

图14 四阶玫瑰花结

制作花式绳索的传统主要源于水手。在业余时间，他们无事可做，而且身边有很多合适的材料，此外，他们中很少有人会读书。因此，制作绳垫和花结主要是为了娱乐和装饰。在某些情况下，垫子被用来保护甲板，减少打滑。P.P.O. Harrison写道。

花式绳结艺术在上世纪中期（19世纪）达到了巅峰，当时贸易的不景气导致船上的船员数量减少，随之而来的是允许水手们用手艺打发时间的空闲时间减少。当时的一位观察家认为，在绳结方面，特别是在海上使用的绳结方面，不可能再有什么发明了。他错了[12]。

Harrison总结说，从那时起，人们发明了更多的东西。可能比19世纪的时候更多，但可能主要是业余水手和绳艺爱好者。在凯尔特人、泰米尔人（印度人）[1]和索纳人（安哥拉人）的传统中也有类似的图案[13]。

这项工作的主要目的是建立一种适合探索和理解传统绳垫和玫瑰花结的内在属性的方法，并开发一种工具来扩展和重新设计传统模型，使之成为新式绳艺作品。

参考文献

[1] N.K. Rossing, C. Kirfel, Mathematical Description of Rope Mats, Trondheim 2001 (Norwegian).

[2] N.K. Rossing, Pendulum Drawing, Science Centre in Trondheim 2002 (Norwegian).

[3] J. Dean, Investigation of the apparent Motion of the Earth viewed from the Moon, arising from the Moon’s liberation, Memoires of the American Academy of Art and Sciences, 1st series, Vol. III – Part I, page 241-244, 1815.

[4] Dr. N. Bowditch, On the Motion of the Pendulum suspended from two Point, Memoires of the American Academy, 1st series, Vol. III, page 413.

[5] J.-A. Lissajous, Mémoires sur l’étude Optique des Mouvements Vibratoires, Annales de chimin. et Phys. 3rd ser. 51, Vol. II, 1857.

[6] H. Airy, Pendulum Autographs part I and II, Nature, August and September 1871.

[7] J.K. Jensen, Handbook of Practical Seamanship (in Danish), Nivaa 1924, new ed. Høst & Søns For lag 1993 (first published 1901), Denmark.

[8] K. Lund, Måtter og Rosetter, Borgen 1968 (Danish).

[9] C. W. Ashley, The Ashley Book of Knots, Faber 1979.

[10] T.D Walshow, Ornamental Turning, Argus books 1994.

[11] J. Goold, C.E. Benham, R. Kerr, L.R. Wilberforce, Harmonic Vibrations and Vibration Figures, Newton and Co. Scientific Instrument Makers, 1909

[12] P.P.O. Harrison, The Harrison Book of Knots, Brown, Son & Ferguson, Ltd., Nautical Publishers, Glasgow 1993 (first published 1963).

[13] P. Gerdes, Ethnomathematik – dargestellt am Beispiel der Sona Geometri, Spektrum Akademische Verlag 1997.

[14] Nils Kr. Rossing, The Old Art of Rope Work and Fourier Decomposition

[15] https://www.geogebra.org/m/rc6xghet

青山不改，绿水长流，在下告退。

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