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极限的定义，大家听得多了，那么你知道上极限和下极限的定义吗？上极限和下极限的定义是从有界数列的最大聚点和最小聚点的定义派生出来的。上一篇作品，老黄介绍了有界数列的聚点定理，其中就涉及到最大聚点和最小聚点的定义，这篇作品，老黄要给大家介绍上极限和下极限的定义，及其相关的两个重要定理。
其实，有界数列的最大聚点就是它的上极限，而最小聚点就是它的下极限，它们的表达形式是分别在原来的极限符号上面，或者下面加一条横线。这样既直观易记，也容易理解。下面老黄给大家举几个例子：
比如通项为(-1)的n次方乘以n/(n+1)的点列，它的上极限等于1，下极限等于-1. 含有(-1)^n的点列，经常拥有不同的上极限和下极限，但也有上极限和下极限相等的情况。在这种极限和下极限不同的例子中，常见的还有含三角函数的点列，比如点列{sin(nπ/4)}，它的上极限是1，下极限是-1。当然，含三角函数的点列也有可能是上、下极限相等的。反正点列的上、下极限，要么相等，要么不等。最常见的点列是{1/n}，它的上、下极限就都等于0.
不难发现，对任何有界无限数列，它的下极限永远不大于上极限。这也是关于上下极限的一个定理。从定义就可以推导出来，因为最大聚点肯定不小于最小聚点，所以上极限肯定不小于下极限，这完全可以当做一个公理哦。因为公理才不需要证明，定理都是需要证明的，而想要运用严谨的数学语言证明上极限不小于下极限，恐怕是一件很麻烦的事情。和证明1+1=2有得一拼，这里指的不是哥德巴赫猜想。
接下来再来做几道求点列的上，下极限的练习，巩固一下新知。
练习：求以下数列{xn}的上、下极限：
(1){1+(-1)^n}； (2){(-1)^n*n/(2n+1)}； (3){2n+1}；(4){(n^2+1)*sin(π/n)/n}.
分析：(1)点列的通项分成两部分，是两个加数，前面的加数恒等于1，后面的加数奇数项等于-1，构成的子列趋于0，偶数项等于1，构成的子列趋于2，因此这个点列的下极限等于0，上极限等于2.
(2)点列同样是由(-1)^n引发的上下极限不相等。这个点列也要分成两部分来分析，这回是前面的因式决定了极限的符号性质，奇数项的符号性质是-1，偶数项的符号性质是正1，后面的因式极限等于1/2，因此，奇数项构成的子列趋于-1/2，是下极限；偶数项构成的子列趋于1/2，是上极限.
(3)极限是正无穷大的发散数列，其实，上下极限不相等的数列，都是发散数列，这两类发散数列本质上是不同的。当然，你也可以认为这个数列是收敛于正无穷大的。因此，它的上下极限也都是正无穷大。
(4)最后一个点列稍有点复杂，不过它的极限却是存在的。只要在分子分母同乘以π/n，分母的π/ni就会和sin(π/n)构成第一个重要极限，等于1。而前面的分式极限，在n趋于无穷大时，极限是分子分母相同的最高次项，即二次项的系数的比。把π前提后，这个系数比也等于1，因此原点列的极限等于π. 所以上、下极限都等于π。
在这道练习中，运用了一个非常重要的定理，是点列收敛于常数A的充要条件，这个充要条件是点列的上下极限相等，且都等于A。只要上下极限相等，等于A那是必然的。这个定理同样证明起来比较麻烦，你能证明吗？
先证充分性。因为上下极限相等，因此最大聚点和最小聚点相等。说明点列有唯一聚点，由聚点的定义可知，唯一聚点就是点列的极限。因为在这个聚点的任意邻域上有点列的几乎所有个点，这就是极限的邻域充要条件嘛。充分性得证。
再证必要性，如果点列的极限存在，那么在这个极限的任意邻域上，有点列几乎所有个点，说明在其它点的邻域上，只能有点列的有限多个点。这就证明点列只有一个聚点，那么这个聚点就既是最大聚点，又是最小聚点。因此上下极限相等。必要性又得证。
你能用数学语言把这段证明描述出来吗？
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