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收敛数列有不少充要条件，但是老黄敢打包票，其中被用得最少的，是“下极限和上极限相等”的充要条件。因为实际应用到的机会很少，不过对于爱好数学探究的小伙伴来说，这类问题往往更容易引起兴趣。
定理：lim(n→∞)xn=A的充要条件是： ▁lim(n→∞)xn=(lim) ̅(n→∞)xn=A.
就是说，上下极限存在且相等，是极限存在的充要条件。而且极限等于上下极限。这个定理似乎是理所当然的，但数学这玩意，除非公理，否则都需要证明，绝对不允许想当然。下面老黄就用实数完备性的知识来对它进行一个严谨的证明。
证明：[必要性]若lim(n→∞)xn=A, 则对∀ε>0，存在N>0，使得当n>N时, 就有|xn-A|<ε.【先证必要性，即当数列收敛于A时，证明上极限和下极限存在却都等于A。首先存在是一定的，因为极限存在，就是有聚点，如果聚点唯一，那么它就既是最大聚点，也是最小聚点，从而上极限和下极限都存在，且都等于A。现在的关键是证明数列有唯一的聚点】
设B≠A是{xn}的一个聚点，【用反证法，假设数列有两个聚点，那么就存在不相等的上、下极限，然后证明它不成立】
取ε0=|A-B|/2>0, 则存在N0>0, 使得当n>N0时, 就有|xn-A|<ε0.【取ε0等于A和B的距离的一半，这样做可以使A的ε0邻域和B的ε0邻域，至多有一个交点。上面说了，任意的ε邻域都存在正整数N，那么ε0自然也有对应的正整数N0，这里通常要给N0一个关于ε0的表达式，但老黄思虑再三，觉得并不需要，因为N一定是有限值，所以N0肯定也是有限值。N0之后就有无穷多个项，在A的ε0邻域上。这里N0没有必要和ε0相关，总之它是存在的就是了，如果不够大，继续取得大一点就可以了，反正它始终是一个有限值】
即U(B,ε0)上最多有{xn}的N0个项，矛盾！【因为N0以后的项全在A的邻域上，而B的领域和A的领域最多有一个交点，使得B的邻域只有有限多个项，与聚点的定义矛盾，所以B不是数列的聚点】
∴A是{xn}唯一的聚点，
从而有▁lim(n→∞)xn=(lim) ̅(n→∞)xn=A.【必要性得证】
[充分性]若▁lim(n→∞)xn=(lim) ̅(n→∞)xn=A, 则A是唯一聚点, 且{xn}有界.【再证充分性，即数列的上、下极限存在且相等时，记为A，证明数列收敛于A】
若存在ε0>0, 使U(A,ε0)外有{xn}的无限多个项，记为【仅当A的邻域外仍有数列的无限多个项，数列才有可能不收敛，使用的仍是反证法】
x_(n1 ), x_(n2 ),…, x_(nk ), …, 则{x_(nk )}有界,【原数列有界，所以子列也有界，且这个子列是一个无限数列 】
由“有无限有界数列有聚点”知, {x_(nk)}有聚点B≠A.
B也是{xn}的聚点. 矛盾!
∴∀ε>0，在U(A, ε)外只有{xn}的有限多个项.【这是数列收敛的邻域充要条件】
∴lim(n→∞)xn=A.
下图可能可以帮你更好地理解上极限、下极限和收敛数列的关系：
很多人对数列极限、聚点的误解来自，与n表示的自然数列的混淆，即数列的极限问题，是在纵轴上探究的，而不是在横轴上探究的，横轴只是给定了一个定义域而已。图中可以看到，在左侧的点，不论多么离散，都不会改变数列极限和聚点的实质。 关键是在趋于无穷大的区间上，A0和A1是数列的两个聚点。如果只有这两个聚点，那么A1就是上极限，A0就是下极限。或者A1，A0之间还有其它聚点，它们仍是上下极限。而当A1=A2时，很明显的，这个聚点就是函数的极限。你看明白了吗？
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