点积与向量积

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一、点积 a•b

（1）数量积的定义

W=|F||S|cosθ，设a,b为向量，θ为其夹角，称|a||b|cosθ为其向量a与b的点积，记为a•b，即a•b=|a||b|cosθ.

由点积定义有

（1）a•a=|a||a|cosθ=|a|^2

(2)a垂直b→←a•b=0

(3) (a)b=|a|cosθ=a•b/|b|,其中θ是a与b的夹角

（2）数量级运算规律

(1)交换律a•b=b•a

(2）分配律 （a+b)•c=a•c+b•c

(3)数乘结合律(λa)•b=a•(λb)=λ(a•b)

(3)数量积坐标运算

设a=a1i+a2j=a3k={a1,a2,a3}

b=b1i+b2j+b3k={b1,b2,b3}

a•b=a1b1+a2b2+a3b3

{a1,a2,a3}•{b1,b2,b3}=a1b1+a2b2+a3b3

记忆：数量积=对应分量乘积之和

例：已知三点C(1,1,1)/A(2,2,1)和B（2,1,2），求角ACB。

解：CA=(1,1,0),CB=(1,0,1)

con

从而∠ACB=π/3

二、叉积a*b

（1）向量积的定义

M=OP*F F是对支点O的力矩是向量模M，其模|M|=|OQ||F|=||OP||F|sinθ

两个向量a与b的叉积是一个向量，记为a*b.其大小|a*b|=|a||b|sinθ(θ=a与b之间的夹角），其方向与a、b都垂直，且a、b、a*b符合右手规则。

显然，叉积的结果是一个向量，故叉积又称为向量积，也称为外积。

由叉积定义有

（1）|a*a|=|a||a|sin0=0

(2)a//b→←a*b=0(加粗表示0向量）

(2)向量积运算法则

(1)反交换律 a*b=-b*a

(2)数乘结合律

（λa)*b=a*(λb)=λ(a*b)

(3)分配律 （a+b）*c=a*c+b*c

(3)向量积坐标运算

设a=a1i+a2j+a3k={a1,a2,a3}

b=b1i+b2j+b3k={b1,b2,b3}

例：设a=(2,1,-1),b=(1,-1,2),计算a*b

例：已知三角形ABC的顶点分别是A（1，2，3）、B(3,4,5)、C(2,4,7),求：

（1）三角形ABC的面积；

（2）三角形ABC的AB边上的高h.

(1)S△ABC=1/2|AB||AC|sinA=1/2|AB*AC|