试验名称：计算后验分布实例

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祝敏玲

实验目的：

1、将贝叶斯理论应用于实际问题，结合后验分布实例来加深对贝叶斯公式的理解；

2、学习并熟悉使用R语言软件来进行后验分布的计算及结果的可视化；

3、通过实验操作及实验报告的撰写，培养我们的分析解决问题、实际操作和学术表达的能力。

实验内容：

为了了解产品的质量，某厂每天都要抽检5件产品，以获得不合格率θ的估计。经过100个工作日后就累计了大量的数据，通过整理得到表 1。根据历史资料，对过去产品的不合格率构造一个分布，如表 2所示。该工厂为了进一步改善产品质量,采用了更先进可行的技术,不合格品率θ因此有可能发生变化。

表 1 产品抽查数据表

表 2 不合格品率率先验概率分布表

（1）分析并用R命令计算当n=10，x=0且先验概率为表2时的后验概率。

（2）用R命令计算当n=10，x=1且先验概率为表2时的后验概率并说明结果的意义。

（3）用R命令做出当n=10且先验为均匀分布U（0，1）时的先验密度和后验密度图并加以解释（x分别取1,3,4,6,9,10）

编程实现：

(1)

install.packages(“BayesianStat”)

library(BayesianStat)

theta<-c(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)

prior<-c(0.94,0.03,0.02,0.01,0.00,0.00)

Bindiscrete(x=0,n=10,pi=theta,pi.prior=prior,n.pi=6)

(2)

Bindiscrete(x=1,n=10,pi=theta,pi.prior=prior,n.pi=6)

(3)

binbeta(x=1,n,a=1,b=1,pi=seq(0.01,0.999,by=0.001),plot=T)

binbeta(x=3,n,a=1,b=1,pi=seq(0.01,0.999,by=0.001),plot=T)

binbeta(x=4,n,a=1,b=1,pi=seq(0.01,0.999,by=0.001),plot=T)

binbeta(x=6,n,a=1,b=1,pi=seq(0.01,0.999,by=0.001),plot=T)

binbeta(x=9,n,a=1,b=1,pi=seq(0.01,0.999,by=0.001),plot=T)

binbeta(x=10,n,a=1,b=1,pi=seq(0.01,0.999,by=0.001),plot=T)

结果分析：

(1)：

(1)的参变量x是样本值; n是样本量; pi 是不合格品率θ的取值向量; pi.prior 是θ的先验概率向量; n.pi是θ的取值个数。图 1是先验概率与后验概率的比较图。

图 1 (1)，n=10，x=0时不合格品率先验与后验概率比较

图1形象地把后验概率相对于先验概率的变化显示出来,从图1可以看出当n=10，x=0时，不合格品率θ=0的后验概率比先验概率大,而其他情形的后验概率都不大于先验概率,生动形象地说明了产品质量有了很大的提高。

(2)：

(2)的参变量x是样本值; n是样本量; pi 是不合格品率θ的取值向量; pi.prior 是θ的先验概率向量; n.pi是θ的取值个数。图 2是先验概率与后验概率的比较图。

图 2 (2)，n=10，x=1时不合格品率先验与后验概率比较

从图2可以看出当n=10，x=1时，不合格品率θ=0的后验概率为0，不合格品率θ=0.2和θ=0.4的后验概率大于先验概率，而其他情形的后验概率均不大于先验概率，说明产品的不及格率有所增加，即随着技术的改进产品质量降低了。

(3)：

在函数Binbeta中,参变量x是样本值；n是样本量；a和b是贝塔分布的两个参数(在本题中,因为先验是(0,1)区间上的均匀分布,所以a=b=1)；pi是不合格品率θ的取值向量；plot是逻辑变量(取“TRUE”表示要作图；取“FASLE”表示不要作图)。按照从左到右,从上到下的顺序各图对应的样本值分别是x=1,x=3,x=4,x=6,x=9,x=10。

图 3(3)，均匀分布先验与二项分布形成的后验分布密度图

图 4 (3)，均匀分布先验与二项分布形成的后验分布密度图

从图3、图4可以看出随着样本值的变化,后验密度曲线也发生了重大变化,换句话说,样本对先验分布产生了重大影响,先验被实质性更新了。