找到这条规律的前提是—避开规律

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

让我们来完成一个挑战。

假如有人要求你用1到1000之间的一半数字创建一个集合，你的获胜条件是要让这个集合不包含多项式数列的前四项。你将如何选择数字？

为了更好地说明挑战规则，理解何为多项式数列，我们先快速回顾一些基本数学定义。

首先，数列顾名思义就是一个数字序列。例如如果我们从3开始，之后每个数加上3，也就是3、6、9、12、15……从一个数开始，不断地增加另一个数，在这种规律模式下的数列被称为等差数列，这是数学中研究最多、最普遍的一种模式。

和等差数列有异曲同工之妙的是等比数列，这种模式是通过将一个数提高到越来越高的幂所形成的：3¹，3²，3³，3⁴。

如果你再稍微调整一下一个等比数列，在它的每个项上加一个常数，比如每一项加上2，你就得到一个多项式数列。多项式数列似乎无处不在。

有些数学规律非常隐晦，可能无论我们怎么寻找也找不到它们；有的则十分普遍，它们的出现似乎是无法避免的。

几十年来，数学家都已经知道，当一个集合很小（包含相对较少的数）时，该集合可能不包含任何多项式数列。但随着一个集合的增长，它最终会跨过一个阈值，在这个阈值之后，集合中就有了足够多的数字，以至于这些模式中的一个必须存在于其中。

但是，数学家并不知道这个临界阈值究竟是多少。牛津大学的莎拉·佩卢斯（Sarah Peluse）的一个新证明提供了一个答案。她找到了一个可用来确定一个集合需要多大才能保证它包含某些多项式数列的精确公式。

故事还是要从等差数列说起。

1

1975年，安德烈·塞迈雷迪（Endre Szemerédi）证明了一个重要的结论。他说，首先决定你希望你的等差数列有多长。它可以是任何包含4项、7项或任意数量的项的模式。然后他证明，一旦一个集合达到某个精确的大小，集合一定包含一个该长度的等差数列。

塞迈雷迪认为，完全的无序是不可能的。不过塞迈雷迪定理并没有说明，在这些规律不可避免地出现之前，集合到底有多大。但他可以确定的是，存在一组未知大小的数字，包含了你所寻找的长度的等差数列。

二十多年后，另一位数学家找到了这个具体的“大小”意味着多少个数字。2001年，剑桥大学的蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）证明，如果你想保证找到，比如一个包含5项的等差数列，你需要至少达到某个确切大小的一组数字——他确定了这个大小。

要了解高尔斯的工作，你必须理解数学家在谈论一组数字的“大小”和“足够大”时的意思。

首先选择一个数字区间，比如1到1000，或者更随机的，比如17到1016——区间的端点并不重要，重要的只有长度。接下来要确定的是在这个区间内，你要放入集合中的数字的比例。例如，如果你要从1到1000的区间中创建一个包含100个数字的集合，则数集的大小是区间的10%。

你可以取1到1000之间的前100个奇数，或者以6结尾的前100个数，或者甚至是100个随机数……不管如何选择集合中的数字，高尔斯的证明都是成立的。他证明了，一旦一个集合在足够大的区间内占据足够的比例（不一定是10%），它就一定包含一个5项的等差数列。这对任何长度的等差数列同样适用。

2

1996年，维塔利·伯根森（Vitaly Bergelson）和亚历山大·莱布曼（Alexander Leibman）得出了塞迈雷迪研究的“多项式数列版本”，他们证明：一旦一组数字足够大，它就必须包含多项式数列。但那时，他们也面临着同样的问题：不知道“足够大”意味着什么。

这次，专注于多项式数列的佩卢斯取得了与当年高尔斯相似的成就。她用一种反直觉的方式回答了“对多项式数列来说多大是足够大”这个问题，她的思维方式是：如果要让一组数字不包含你要寻找的规律时，都需要些什么。她考虑的是用什么样的策略，可以让一组数字避免包含这个数列，然后证明超过一定规模，即使是最高明的策略也不能避免数列的出现。

在文章开头提到的那个挑战中，你或许觉得随机挑选是个不错的选择，但这其实是错的。要知道，大多数的集合都分布在钟形曲线（正态分布曲线）的中部，因此你随机选出的集合中包含数列的可能性是很高的。这就类似于你从世界人口中随机选择一个人，你选出的可能会是一个接近平均身高的人；但如果你的目标是找到一个罕见的身高两米的人，那么你需要用一个更有针对性的方式搜索。

所以，要赢得这个选数挑战，你需要一种更有组织的方式来决定在你所要选的500个数字。例如，如果只选择偶数，就能排除集合中包含任何奇数的多项式数列的可能性。看上去不错——但是，你也增加了集合中包含由偶数构成的多项式数列的可能。

但这种方式的关键在于，通过提出一种结构化的方法来选择这500个数字，可以排除集合中包含某些多项式数列的可能性。换句话说，它用一种规律来避开另一种规律。

最后，佩卢斯证明，当数列达到一定的规模后，即使是最精心构造的集合也一定会包含给定的多项式数列。从本质上说，她想找的是一个临界点，在这个临界点上，每当你避开一种开多项式数列，就会得到另一个多项式数列，就像奇数和偶数一样。

要做到这一点，她必须找到一种方法来量化一个集合包含了多少结构。

3

在佩卢斯的论文发表之前，许多数学家试图揭开多项式数列何时出现在数集中的谜题。这份名单中包括了这一领域中一些最有成就的人，但他们都没有取得重大进展。其中的主要障碍就在于，他们不知道如何精确地捕捉能让集合避免包含多项式数列的结构类型。

而佩卢斯却发现，一项早已存在的技术可以用于解决这个多项式数列问题。这项技术正是源自于高尔斯2001年的等差数列研究，创建了一个名为“高尔斯范数”（Gowers norm）的测试，能用于检测一组数字中的特定类型的结构。换言之，它能量化一个集合距离随机数集合有多远。

一个集合可以或多或少地被构造，而包含随机数的集合是根本没有结构的，它们的高尔斯范数更低。只包含奇数或10的倍数的集合具有基本的结构。不难证明，当集合超过一定的大小，这些简单设计的集合也包含不同类型的规律。

最难处理的是那些结构非常复杂的集合。这些集合可能看上去是随机的，但实际上是根据某种非常微妙的规则而构造的。这样的集合有很高的高尔斯范数，并且随着集合本身的增大，它们最有机会系统地规避规律。

高尔斯用这种技术来回答与等差数列有关的问题，它并不适用于多项式数列问题。因为等差数列是均匀分布的，而多项式数列中的项在一个到另一个之间跳跃得很厉害。然而，佩卢斯的新证明中利用高尔斯范数的基本思想，创造了一种全新的可用于分析多项式数列的各类结构的方法。

佩卢斯的公式很复杂，它涉及到对初始的数字区间的长度取双对数。虽然目前认为她所给出的答案未必是真正最小的临界阈值，未来的工作或许还能进一步降低这一阈值。但在她的证明之前，数学家根本不知道什么时候多项式数列是有保证的。佩卢斯的证明回答了一个关于多项式数列的定量问题。数学家们现在希望他们可以用它来回答另一个问题——多项式数列何时出现在完全由素数组成的集合中。

参考链接：

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-catch-a-pattern-by-figuring-out-how-to-avoid-it-/

来源：原理

编辑：zyi

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.