用直觉理解，指数函数，对数函数。

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接着上篇文章，趁热打铁。加深理解，指数函数，对数函数。

用直觉来感受。

问题1：2 的多少次方等于 4？

回答：太简单了，答案是 2 次方。

问题2: 2 的多少次方等于 8？

回答：也简单，答案是 3 次方。

问题3: 2 的多少次方等于 6？

回答：由于，即。可见，答案是 “2点几”。具体的准确数值一下还无法给出。

问题4：2 的多少次方等于 7？

回答：由于，即。可见，答案也是 “2点几”。但是比 “上一个问题” 的答案要大一点。准确数值一下也是无法给出。

问题5：2 的多少次方等于？

回答：次方。即开平方根，或根号。

分析：，分数（小数），有点奇怪，不好理解。请看：

，即 2 的平方，再开根号，等于 2 本身。

所以分数的的分母意思为开次方根。表示开 3 次方根，表示开 4 次方根。

表示 a 的 n 次方再开 m 次方根。也表示 a 开 m 次方根再 n 次方。

问题6：2 的多少次方等于？

回答：比大，比 1 小。

问题7：2 的多少次方等于？

回答：-1 次方。

分析：负数，有点奇怪，不好理解。请看：

因为任何数的 0 次方等于 1，。所以

，所以 -1 次方即为倒数。

同理

，也可理解为

问题8：为什么？

分析：先分析为什么？我们知道。

那么比 还要小一点，但大于 1。

那么，当 n 很大时，那就是对 2 开很大的 n 次方根。随着 n 越来越大，值会越来越小，但还是微微的大于 1。

可以想象，当时，。此时。

指数函数，换底，直觉感受。

问题1：请问把数 2 ，只使用乘次方和开次方运算，变为其他任意数值 C。是否可行？

分析：，使，即分析。

所以，只要 C > 0，都是可以的。

问题2：请问任意一个正数 a，总是可以使用乘次方和开次方运算，得到任意正数 C。这个说法正确吗？

回答：正确。所以

其实，就已经完成了换底了。关键是指数不相同。

那这个指数具体的值到底是多少？

,到底这个指数 “问号” 具体的值是多少？

根据上面的原理分析，可知这个指数值在 1 和 2 之间。

具体的值无法用分数和次幂来表示（无法用代数的形式表示）。

什么叫代数的形式呢？

例如： 是无限不循环小数（无法用分数表示，即的形式），但它可以用次幂的形式表示，即。

那么这个指数呢，它无法用“加，减，乘，除，次幂”，以及他们的复合运算得出。所以需要使用一个特殊的数学符号来表示这个值。

请注意，这仅仅是一个数学符号（你也可以发明另外一个符号来表示同样的数学含义）。读作 “log 以 2 为底，3 的对数”。这个值就是那个指数的具体值。

练习1

不同底的两个指数函数

如上图所示。已知点和的坐标。 “蓝色” 指数函数为（底为）。请问 “红色” 指数函数的底为多少？

解：

因为已知，两边同时乘方

所以 “红色” 指数函数的底为。

练习2

不同底的两个指数函数

如上图所示。已知点和的坐标。并且知道 “蓝色” 指数函数的底为。请问 “红色” 指数函数的底为多少？

解：

因为已知

所以 “红色” 指数函数的底为。