阶乘也很有趣：从阶乘到伽玛函数到非整数的阶乘

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阶乘运算（Factorial）

任何大于等于1 的自然数n 阶乘：

也即

下表给出了一些自然数的阶乘值：

https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial

100！是一个158位的整数

100!这么大的数到底怎么算出来的呢？

阶乘的计算

直接求阶乘，需要经过大量的乘法运算，位数太多，计算机也无法表示出来。此时，往往采用对数方法，将阶乘的乘法运算化为加法运算。如

编写一段Python语言代码求等式右边的值：

import math

digit_num =0.0

for i in range(100):

digit_num += math.log10(i+1)

print(digit_num)

运行得到

157.575（近似值），即

这说明100！是一个158位的数。根据对数函数与指数函数的关系，可以反求出阶乘值：

以前不理解对数意义的朋友这里可以体会到对数的强大威力了吧？

另，阶乘有一个有趣的近似公式：

斯特林（）公式- Stirling’s approximation

斯特林公式与阶乘曲线对比

我们实际验证一下斯特林公式的误差。将n=100代入上述公式，得到100！≈9.00000… × 10^157

与我们用对数求得的值之间的误差大约为0.08329%，即万分之8.3，相当精准吧！！！

阶乘的延拓

可以将点(n, n!)即(0, 0!), (1,1!), (2,2!), (3,3!),…在平面坐标系上表示出来。

n!, n=0..4

n!, n=0..6

n!, n=0..10

我们能不能找到一条数学曲线，能够穿越上述所有点(n,n!)呢？找到这样一条曲线的过程就是数学上的解析延拓，从整数域解析延拓到实数域。

伽玛函数

人类恰恰找到了这样一个函数，即伽玛函数（Gamma Function）。伽玛函数的定义如下：

伽玛函数是一个用定积分公式定义的函数，所以求伽玛函数变成了求定积分。不难求得：

进而

伽玛函数与实数域阶层的关系

这些结论我就不做证明了，一方面这些知识可以很便捷地索到，另一也是更重要的方面是，毕竟我的目标不是吓唬大家和显摆自己的学问，而是希望尽可能充分地向大家分享、呈现数学的奥妙、美丽和魅力。

从该等式可以看出，阶乘不就是伽玛函数从实数域降维到整数域的降维函数吗？反之，伽玛函数不正是阶乘序列在从整数域向实数域的延拓吗？

伽玛函数衍生出的一个常数，即为弗朗桑－罗宾逊常数（Fransén–Robinson Constant）：

问题：伽玛函数是阶乘运算的唯一解析拓展函数吗？

答案是否定的，因为满足这样的拓展函数有无数个。如如下函数在横坐标为整数时的值也等于对应的阶乘值：

实数域的阶乘函数

因为

也就是说

用如下方式来表示这个阶乘函数：

该阶乘函数有如下递推性质（从小到大，算正数的阶乘时用到）：

从上面的递推公式，我们可以得到新的递推公式（从大到小，算负数的阶乘时用到）：

我们试着求一下几个非整数实数的阶乘函数值：

根据这个值可以推出其他一系列值：

这π(x)就是实数域阶乘函数的一个合理定义公式。阶乘函数y=π(x)=x!的曲线如下图：

我们发现上述阶乘函数在负整数处不连续，即不收敛，与我们计算的结果相符：

最后再求两个特殊的阶乘

其实阶乘还可以延拓到复数域，如

复函数

曲线图如下

(cosx+isinx)!的曲线图

人家在何许？云外一声鸡