著名的蒙提霍尔困境问题

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蒙提·霍尔困境

蒙提·霍尔问题是一个以概率谜题形式出现的脑筋游戏，是1990年美国杂志《游行》的主编玛丽莲在“问玛丽莲”专栏中引用了读者克雷格的一个问题：

假设你在一个游戏节目上，你作为参赛者有三扇门可以选择。一扇门后面是一辆汽车，其他两个门后面是山羊。你选一扇门，比如1号，主持人蒙提·霍尔知道门后是什么，打开另一扇门，比如3号，里面有一只山羊。他问你”你想选2号门吗”?

这样的场景在央视的一个由王小丫主持的有奖答题节目中出现过。那么改变门的选择对你有利吗？

因此题目的条件是：

有3个门，每个门后有一个山羊或一辆汽车，但只有一辆汽车作为奖品。

你选了一扇门(叫它1号门)，当然你希望的是那辆车，但你并不知道结果，为了增加趣味，

游戏节目主持人蒙蒂·霍尔(Monty Hall)检查了其他两扇门(2号和3号)，他打开了有一只山羊的一扇门，比如3号。(如果两个门后都有山羊，他会随机挑选。)随后，为了更有悬念，主持人问你是坚持1号门，还是换成剩下的两扇门中未打开的那扇2号门？

问题：

你是坚持你的第一个选项，还是在主持人的提示下中途改变你的选项，选择另一扇门？哪种概率更大？

这个问题在杂志上刊发后，玛丽莲受到了如雪崩般的信，有许多不同的答案。

答案1

有1/3的几率你会撞到奖品门，2/3的几率你会错过奖品。如果你不改变，1/3是你得到奖品的概率。然而，如果你选择继续猜测即错过第一个门(这个概率是2/3)，那么奖品就在剩下的两扇门中的一扇后面。此外，在这两个门中，主人会打开没有汽车的一个门，让有车的门关闭。因此，如果你初始选择不对，然后转换，你一定会得到大奖。总而言之，如果你不改变你赢的机会是1/3而如果你改变你赢的机会是2/3。

答案2

当主人打开一扇门后，有两扇门仍然关闭，他们身后有奖品的概率是相等的。因此，无论你是否切换，你都有50-50的机会(也就是概率为1/2)击中或错过奖品门。

这就是著名的概率问题，即蒙提·霍尔困境问题，也叫三门问题。

那位主编玛丽莲给出的答案是2/3，她被吉尼斯纪录记载为世界上智商最高的女人。但她的答案遭到很多数学家和数学博士的否定，其中一位来自弗洛里达大学的史密斯博士在信中谈到：

你搞砸了，你搞砸了!既然你似乎难以掌握这道题的基本原理，那我就解释一下。在主持人提示一只山羊之后，你现在有1 / 2的机会是正确的。无论你是否改变你的选择，几率都是一样的。这个国家的数学文盲已经够多了，我们不需要世界上智商最高的人继续传播。耻辱!

事实上大多数人都有一个强烈的想法，即不变还是改变并不重要，因为他们认为两种选择赢得奖的概率是相等的。所以几乎每个人都保持不在改变选择。他们认为，由于汽车是随机放置在三个门中的一个后面，门3已经被淘汰，现在有50%的机会，汽车将在门1或门2后面。他们认为，虽然转换没有害处，但也没有好处。

但男性数学家们错了，而世界上最聪明的女人是对的。你应该改变初始选择。原因不难看出。请读者继续阅读。

那么人们的这种直觉到底是对还是错呢？

根据条件概率（也可利用概率中的贝叶斯定理），在给定的条件下，可以推导出改变是最优行为，有2/3的概率赢得奖品，而坚持最初的选择只有1/3的获奖概率。这些后验概率的基本原理可以通过下面的表格来解释。三个完全相同的门隐藏着一辆车(即奖品)和随机放置在门后的两只山羊(即无意义或模拟奖品)，所以有三种可能的序列:汽车可能隐藏在1号门,2号门B,或3号 .假设一个选手最初选择门1号门，表中显示,保留最初的选择(即1号门)将赢得比1/3(见第1列),而变换会导致获得2/3的比例(见序列2和3)。请注意,在序列1,主持人可以打开2号门或3号门，而在序列2和3中，主持人只能打开另一只山羊的门(分别是2号门和3号门)。若选手将2号门或3号门做初始选择，情况也是同样的情况，因此参赛选手的最佳解决方案是改变门的选择。

总结

以下是理解蒙提·霍尔谜题的要点:

• 当你对两种选择一无所知时，两种选择各占一半，如一枚硬币的正反面。
• 蒙蒂霍尔通过“过滤”掉坏选择来帮助我们提高了中奖的概率。这是一个随机的选择，”好门”就是被过滤掉的 “坏门”之后留下的最佳选项。
• 一般来说，更多的信息意味着你要重新评估你的选择。

蒙蒂·霍尔悖论的致命缺陷是没有考虑到蒙蒂的过滤，认为前后的概率是相同的。但我们的目标并不是要理解这个谜题——而是要意识到随后的行动和信息如何挑战之前的决定。人生何尝不是如此，有很多不确定性，在你的事业和生活选择中，多些可靠的前提输入，那么你的成功的几率就会大增。

此外在做一项决策时候，若能排除一些因素，尽可能地优化问题，那么决策的结果正确的可能性就会增加。

希望数学思维帮你成为人生赢家！