为了让你在游戏里猜中大奖，数学家整出了硬核玩法

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蒙提霍尔问题（又称“三门问题”）是数学领域的最著名的几个问题之一，它起源于蒙提霍尔主持的一个游戏节目。

游戏的参赛者眼前会有三扇关闭的门，其中一扇门背后是一个价值不菲的奖品，比如一辆小汽车；而另外两扇门背后则是一些价格不高的奖品，像一头山羊之类的。如果参赛者选择了正确的门，就可以赢得大奖，反之，他会一无所有。

参赛者需要做出选择，选择其中一扇门，并且告知主持人。

此时被选择的门仍然是关着的，主持人会打开另外一扇门，这时候门后面会出现一头山羊。

接着参赛者就会收到两个选项：依旧选择原来的门，还是换成剩下那扇门。

最终他打开的那扇门将会揭晓，是赢得大奖小汽车，还是仅仅看到一头山羊。

是小汽车还是山羊？

那么问题来了：参赛者到底要不要改变他原来的选择呢？

目前已被接受的答案是“要”。事实上，改变原来的选择，换一扇门，你赢得大奖的机会会翻倍。这是很令人惊讶的结论，也是这个问题如此出名的原因。这个观点在电影《决胜21点》里被提到过。

然而事实上，被广泛接受的答案也并不总是正确的，这一点也被视为思考不严密的一个例子。是否要改变原来的选择并更换一扇门是取决于主持人的（某种程度上也可以说是取决于参赛者自己 ），取决于他掌握了哪些信息，不知道哪些信息。

首先我们设想一下，主持人知道在哪一扇门背后是小汽车。而当你作为参赛者选完一扇门后，主持人总会选择打开一扇背后是山羊的门——这个就是问题关键所在（这确实也是个合理的假设：要是主持人选择打开那扇背后是小汽车的门，游戏不就结束了嘛）。

这个时候，要是你决定坚持原来的选择，如果你最初的猜测是正确的，你就赢得了这个大奖。而这发生的概率是1/3，即使主持人打开了背后有山羊的门也改变不了这一点：无论你最初的选择是什么，主持人团队都会照这个做出反应，确保他们打开的是一扇背后有山羊的门。而要是你决定放弃原来的选择，换一扇门，如果你最初的猜测是错误的，那你也赢得了大奖，这发生的概率是 2/3。同样的，这个概率也不会受主持人“开门见羊”的操作影响。唯一有变化的，是现在赢大奖的概率只和剩下的第三扇门——那扇你一开始没有选、主持人也没有开的门有关。

源于：wiki

这个貌似合理地证实了对于蒙提霍尔问题的那个已被接受的答案：换一扇门是值得的，因为那样的话你赢得大奖的几率更高了。

但是如果主持人自己也不知道汽车在哪扇门背后，他只能在你做出选择之后随机地打开一扇门，情况又会怎样呢？“主持人打开一扇门，门后有一头山羊”这个事实会给出关于你自己那扇门的新的信息。一扇（背后有山羊）的门已经被排除掉了，那么你的门和剩下的门都都更可能是藏有最终大奖的那扇，概率都是 1/2，而这个时候不管你换还是不换，都并没有什么区别。

所以，当你遇到这种类似于蒙提霍尔问题的情况时，不要先入为主地认为“接受改变”是最好的选择。因为它隐含了一些假设：每个人掌握了多少信息。

我们可以使用贝叶斯理论将上面的推演过程解释得更清楚一些。贝叶斯理论能够告诉你如何求解在事件B发生的前提下事件A发生的概率。在我们这个例子中，事件A代表“你选择的门背后是小汽车”，事件B则代表“主持人打开了一扇背后是山羊的门”。

贝叶斯理论告诉我们，B 发生的前提下发生A的概率（我们记作P(A|B））满足这样一个等式：

既然在我们这个例子里面，P(A）代表了“你选到了后面是小汽车的那扇门”的概率，那么P(A）=1/3。如果主持人知道汽车在哪扇门后面，而且他总是去打开一扇后面是山羊的门，那么P(B）=1。

那P(B|A）等于多少呢？这个是“你选中了后面是小汽车的门”的前提下，“主持人打开了一扇背后是山羊的门”的概率。因为不管你选了啥，主持人总是打开一扇背后是山羊的门，所以P(B|A）也等于1。这就意味着：

从而，“小汽车在你未选且主持人没打开的门（即最后一扇门）后面”的概率，是1-1/3=2/3。

而如果主持人不知道小汽车在哪扇门后面，他完全随机地开一扇门，这个时候P(B），“主持人打开一扇后面是山羊的门”的概率，是等于2/3的。因为主持人不会和你选同一扇门，所以P(B|A），“你选中了后面是小汽车的门”的前提下，“主持人打开了一扇背后是山羊的门”的概率，是等于1的：既然你选了车，主持人选的就应该是山羊。按照我们这些推导，贝叶斯理论会告诉我们：

这个问题还有另一种形式。在这种情况下，吝啬鬼主持人知道车在哪扇门后面，他决定要下个套来糊弄你。主持人倾向于认为你听说过蒙提霍尔问题的常规答案。要是你选择了背后是小汽车的门（概率是1/3），主持人就会打开一扇后面是山羊的门，以期让你改变选择。你肯定会改变选择（因为你听说过蒙提霍尔问题的常规回答，换门赢大奖的概率更高），这个时候你百分之百会抱着山羊哭泣。

如果你一开始选择了后面是山羊的门（概率是2/3），主持人会让你在剩下两扇门中选择一扇排除在外。在这个过程中主持人没有开过门。在这之后，主持人会让你选择，是坚持原来的门，还是换成剩下那一扇。在这种情况下，你已经排除的哪扇门背后是小汽车的概率是1/2，所以无论你做何选择，最终抽到山羊的概率都是1/2。

综合下来，按这种规则，你抽到山羊的概率就成了1/3×1+2/3×1/2=2/3。这说明主持人赢得游戏的几率更大！

作者：Chris Budd

翻译：Dannis

审校：Nuo

编辑：aki

来源：新华号 中科院物理所