无穷大与无穷大，谁大？

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前言

看到这个标题，大家是不是觉得很奇怪呢？无穷大就是无穷大，怎么无穷大还能分个三六九等？

然而数学有的时候不一定跟着直觉走。很多时候，经过严格的推理和论证，我们可以得出很多反直觉，但确实正确的结论。

在数学上，关于无穷大的讨论，人们曾经经历了很多的争论，甚至还把相关理论的发明人，数学家康托尔，逼到精神失常。所幸，现在这个争论终于尘埃落定，现代数学关于无穷大已经有了一套比较完备的理论。姑且写出来，分享之。

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神奇的希尔伯特旅馆

希尔伯特旅馆是数学上一个著名的思想实验，也是关于无穷大的理论的基石。或许不少看到这篇文章的小伙伴之前都听过。不过我这里，还是觉得以这个引入是最好的，所以这里就再写一遍咯。没接触过的小伙伴正好来看一下~

设想有一个无限大的旅馆，里面有标号1,2,3…的无穷多个房间。现在，所有的客房都有客人了。考察下列情景：

• 某天，张三带着他朋友们组成了一个10人旅行团来这里旅游，想要住这个旅馆，请问能不能给他们安排房间？
  
• 第二天，张三雇了一辆无穷巴士，带来了标号1,2,3…的无穷多个朋友来这里旅游。请问，能不能把他们都安排上房间？
  
• 第三天，张三找了一个无穷旅行社，从里面雇了编号1,2,3…的无穷多个巴士，每一个巴士上都有标号1,2,3…的无穷多个客人。请问，能不能把他们都安排上房间？
  
• 第四天，张三找了一辆“超级无穷巴士”，上面的客人不用1,2,3…编号，而是每人身上都贴着一个标签，标签上写着只包含”x”和”y”这两个字母的无限长的字符串。假设每个人身上的标签组合起来，可以包含
  所有由”x”和”y”这两个字母的无限长的字符串组成的字符，并且不同人对应的字符各不相同。请问，此时还能给这些人安排房间吗？
  
  

正确答案是：前三天都可以，第四天这个旅馆就歇菜了。

第一天，只要让编号
的房间里的客人移动到第
号房间去住，前10个房间就腾出来了。

第二天，把所有正整数分成奇偶两组，让编号为
的房间里的客人移动到
号房间去住，然后让第
个客人住第
号客房即可。

第三天，还是先让编号为
的房间里的客人移动到
号房间去住，把1,3,5,7,9…号客房腾出来。我们把第
个巴士上的第
个客人记作
。那么，让
（即
）住第1号客房，让
（即
）住第3,5号客房，让
（即
）住第7,9,11号客房，让
（即
）住第13,15,17,19号客房……如此继续下去，按照
的值从小到大的顺序一组一组安排，总能把所有客人安排进去。

然而到了第四天，事情就不对劲了。假设我们把所有的客人都安排进去了。现在，考察这么一个客人，对于任意正整数
，他身上对应的字符串的第
位和第
名已经入住酒店的客人的第
个字符不相同（也就是如果入住的客人的那一位是x，他就取y，反之亦然）。这样一来，这个客人的字符就和每一名已经入住的客人的。从而，这个客人没有入住，这和我们的假设“所有客人都安排进去了”矛盾。借助反证法的思想我们知道，这个旅馆第四天必须挂出“今日满员”的牌子。

下面的图可以帮助大家理解第4天发生的事情：

无穷大到底怎么比大小？

一一对应原则

从上面的例子可以看到，无穷大之间比大小，就不像有限量比大小一样，”我比你多我就比你大”，而是要借助其他的原则。

这个原则是什么呢？

我们还是从有限量的比较获得灵感。假设一个剧场有1000个座位，你一上台发现台下既没有没人坐的空位，也没有人坐在台阶上这种“不该坐”的地方，并且每个座位上都只有1个人，没有家长抱着小孩坐这种情况。请问：台下有多少观众？

大家一定可以立刻回答出来：1000个。那么，为什么可以立刻回答呢？

显然，在这个场景下，观众和座位形成了一一对应，因此它们的数量也一定是“一样多”。

在数学里，无穷大的比较遵循的是一样的标准：一一对应。如果两个无穷集合里面的元素可以形成一一对应，那么这两个集合的元素个数就是“一样多”。如果无穷集合A可以和无穷集合B的一个子集的元素一一对应，但集合A却无法和集合B中的所有元素进行一一对应，那么就说集合B的元素比集合A多。

一个重要的定理

现实情况下，一一对应的规则往往不好构建，很多时候我们都只能构建一个集合到另一个集合的子集的对应规则。那么，设有两个无穷集合
，如果我们构建了法则
可以把
一一对应到
，又构建了法则
可以把
一一对应到
，那么，A和B之间是否存在一一对应呢？

答案是：一定存在。我们甚至可以直接把这个规则写出来：

为方便起见，我们现在把
和
分别写作
和
。设
。根据定义，
，
。我们再对
和
使用法则，设
，
。由于
，而
是一一对应法则，根据
和
可知：
。同理，
。而这两条，就可以看做
和
之间的一一对应法则。

现在，重复上述操作，定义
，再定义
，
。同理可得，
，
。而这两条，就可以看做
和
之间的一一对应法则。

如此继续下去，我们可以得到
和
之间，
和
之间。。。的对应法则。而我们的集合构建规则是
和
，
。从
和
，借助
和
为一一对应这一特点，用数学归纳法容易证明：
和
。从而，将我们构建的对应规则综合起来，就形成了
（即
）到
（即
）的一一对应规则。

如果上面的表述太数学化，下面的草图可以帮大家理解：图中，相同红色数字标出的小段之间具有一一对应关系，对应法则我已经在后面用字母标出。

可见，如果我们可以构建两个法则，分别把两个无穷集合对应到对方的一个子集，我们也可以说这两个集合的元素个数“一样多”。

无限集的势

对于有限集，元素的个数可以用一个正整数来表示，而对于无限集，这显然不行。而我们从希尔伯特旅馆中可以看到，无限似乎又是可以比较大小的。所以，对于无限极的数量，我们必须给它一个名字。这个名字就叫做无限极的势。数学上，常用符号
（读作“阿列夫数，Aleph数”）表示。

根据一一对应规则，如果某两个集合的元素“一样多”，就说它们的“势”相等，或它们“等势”，即
。如果A比B元素“多”，就说A的势比B大，即 。

这样，之前证明的定理就可以表示为：如果两个无穷集合A和B可以和对方的子集一一对应，那么必有
。这个定理叫做Bernstein定理。

最小的势：

在所有无限集中，显然大家能想到的元素数“最少”的就是正整数集
。这是因为，既然要无限，至少至少，元素必须能一个一个排起来，一直排下去。那么，对于这个集合，我们就把它的势记作
。这是所有的势当中，最小的一个。

那么，根据一一对应的规则，任意可以和
一一对应的无限集的势必然都是
，其个数和“全体正整数”的个数一定一样多。这样的集合我们称为“可数集”，这样的元素个数我们称为“可数”。

下面，我们要开始证明一些重要的结论了。提醒：有些可能会反直觉哦。

结论1：

很简单，将全体整数按照0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4…排列，并分别对应1,2,3,4,5….即可。

但是，我们知道，
。从而，这个简单的例子告诉大家一个很重要的事情：无穷集完全可以和自身的真子集一一对应！。这在有限集里面显然是不可能的，但是一旦我们讨论“无穷”，事情就不一样了！

结论2：

什么？！有理数？！您没骗我？！有理数那么多，居然和正整数个数一样多？！

我们来看：现将有理数按照

这样排列。按照第一行，第二行，第三行。。。这样的顺序依次写下有理数，并且剔除掉和前面的值有重合的元素(例如保留
而剔除
)，我们就把有理数排成了一列，然后将这一列按次序分别对应1,2,3,…即可。

很反直觉，但是无懈可击。

结论3：设
为（可数）无限多个有限集，且
有无限多个元素。则

很简单，将
中的元素顺次排列，剔除重复元素，再按照排列次序与
对应即可。

结论4：设
为一列无限集，且
。则

证明：考察希尔伯特旅馆第三天的情况。既然
，集合
中的元素一定可以和第
辆无穷巴士中的乘客一一对应，而
还要剔除可能存在的在不止一个
中出现的元素。因此，
显然可以和“全体无穷巴士中全体乘客”这个集合的一个子集对应。而希尔伯特旅馆第三天的情况已经证明，“全体无穷巴士中全体乘客”可以和集合{1,3,5,7…}一一对应，集合{1,3,5,7…}又显然和{1,2,3,4…}可以一一对应（这个太明显了）。从而，“全体无穷巴士中全体乘客”可以和
一一对应。所以，
可以和
的一个子集一一对应。

另一方面，
显然可以和
的一个子集对应，取任意一个
作为这个被对应的子集即可。从而，根据Bernstein定理，
。

所以说，即使把可数个可数集的元素全凑在一起，全体元素的个数依然可数！类似地，有限个可数集的并集依然可数，就很显然了。

结论5：代数数集可数

代数数的定义是：可以成为整系数多项式方程的根的数。有理数自然不必说，*很多无理数也属于代数数，例如
，
等。*那么，为什么代数数集也可数呢？

我们知道，任何整系数多项式方程的根的个数都是有限个，但是整系数多项式方程有无限多个。如果可以证明整系数多项式方程的个数是可数的，那么每个整系数多项式方程的解显然是有限个，根据结论3就完成了命题的证明。

由于整系数多项式方程显然和有序有限项整数数列一一对应（直接去从高次项到低次项的系数即可，数列项数=多项式次数+1），我们只需证明：全体有限项有序整数数列的个数是可数的。

设
为全体“含有
项的有序整数数列”构成的集合，
。显然，“全体有限项有序整数数列”构成的集合就等于
。因而，如果能证明对任意正整数
，
可数，根据结论4就相当于证明了全体有限项有序整数数列的个数是可数的，也就相当于完成了命题的证明。

如果我们定义集合
，来表示“全体n项有序整数数列中绝对值最大的项的绝对值等于
构成的集合，那么显然
为有限集，且
。从而根据结论3，知
可数。这样，我们就完成了命题的证明。

更高级的势：

无理数比有理数多吗？

在希尔伯特旅馆中，我们已经看到，旅馆在第4天就不得不挂出满员的牌子。这说明，第4天的那个“超级无穷巴士”里面的乘客数比全体正整数的个数要多，也就比我们刚才所有提到的集合元素个数都要多。

那么，这个“超级无穷巴士”到底有多少乘客呢？

首先，我们做这么一件事：给“超级无穷巴士”上的每一位乘客都改个名字。把所有乘客的标签上所有的x都改成0，y都改成1。接着，我们在每个乘客前面都加一个“0.”。这样一来，’xyxxyyyy…’就成了’0.0…’，’yxyxyxyx…’就成了’0….’，如此等等。

如果我们把改名之后的东西看成二进制小数，我们就不难发现，全体“超级无穷巴士”上的乘客，就对应于全体以’0.’开头的二进制无限小数的集合，而这就对应了
之间的全体实数！【注：有理数可以写成无限循环小数，有限小数我们也改用循环小数表示，例如0.101可以表示为0…..（1无限循环)】

因而，我们可以说，“超级无穷巴士”上的乘客的个数，就是
之间全体实数的个数。根据下面的对应规则，我们可以构建
至
的一一对应关系：

而与此同时，函数
又可以完成
至
的一一对应。因此可以说，“超级无穷巴士”上的乘客的个数，也等于全体实数的个数。

当然，只要我们借助二进制小数，把希尔伯特旅馆第4天中那些人的标签上的x和y分别换成0和1，很容易证明，实数的个数比有理数多。

那么这个个数如何理解呢？我们现在再换一个角度去看看那些二进制小数。如果我们把开头的’0.’给去掉，每一个二进制小数就成了一个’0’和’1’构成的无限长序列。而如果我们现在再把
搬出来，并且写出其全部的子集，这个子集能否和这些序列一一对应呢？

当然可以，而且对应规则很简单！给定一个序列，在第几位取到1，我们就去正整数集中的第几个元素放到子集里。从而，序列“…”对应子集{1,3,4,6,7…}，序列“000…”对应子集{4,7,9,10,12…}，如此等等。原来，
上的全体实数（因而也可以说整个实数集中的实数），根本就可以和
的子集一一对应！

我们知道，
元素有限集的子集个数为
。因此，这里我们不妨沿用这个记号，把全体实数的个数记作
。数学上，我们常常将它写作：
。

可见， ，从而实数比有理数多。这也就说明无理数一定比有理数多，否则如果有理数和无理数一样多，二者都可数，它们的并集也一定可数（前面已经证明），这就和 矛盾。

无理数比有理数多很多吗？超越数比代数数多很多吗？

刚才，我们看到，实数比有理数多，从而无理数比有理数多。那么，这个多，是多多少？多一点还是多很多？

我们来看下面这个实验：既然有理数可数，我们可以把它们写成
。设数集

其中 。显然，
。另一方面，
的长度显然不超过各区间长度之和：

而
可以取任意正数。这就说明，我可以用总长度任意小（
可以任意小）的一个数集，把全部有理数都覆盖住。然而，整根实数数轴的长度是无限长！由此，实数不仅比有理数多，而且比有理数多很多！那么，自然地，虽然有理数和无理数在实数轴上都是稠密的，也就是任意小的区间里面都有无穷多个有理数和无理数，但有理数的个数和无理数相比嘛。。。大概就是。。。

同样的道理，我们把这个过程扩展到复数平面上，把小区间换成小圆圈，可以证明：超越数不仅比代数数多，而且比代数数多很多！

所以说，数学是非常神奇的。我们现在已经知道无理数比有理数多很多，可是当年无理数的发现者希帕索斯却被扔进了大海。我们现在知道超越数比代数数多很多，可是证明诸如
，
这样的数是超越数可绝非凡人能做。这，可能就是数学让人神魂颠倒的地方吧。

是无穷大的“天花板”吗？

从刚才的实验中，我们已经感觉到，
比
要大很多。那么，这是“无穷大”个数的天花板吗？

考察一个无限集
，定义其幂集
为
的全体子集的集合，即：

显然，集合
和集合
中元素可以一一对应，而同样显然的是，
。因此，
。而下面的这个定理，直接否定了取等于号的可能性：

任何无穷集合
和它的幂集
中的元素不可能以任何方式构成一一对应关系。

证明：设某集合
的元素和它的幂集
的元素之间构成了一个一一对应关系
。设集合
。设
（由于
为一一对应，显然存在逆向规则
，且t在S中）。那么，如果
，则由
知
，直接违背
的定义，从而
。而如果
，
又同时满足了
（打错，这个T应为S）和
两个条件，完全符合
的定义，从而
。怎么都矛盾，只能是假设出错，从而无穷集合不可能和其幂集之间存在一一对应关系。

这样一来，即使我们从可数集
开始，也可以通过构建幂集
，幂集的幂集
，幂集的幂集的幂集
。。。。一直套娃下去，这些集合的势也一定会越来越大。套娃无止境，势就可以无限发展，没有顶棚。

仿照
和
的关系，我们不妨写出一些列的势：
，
，
。。。。一直下去，永无止境。而至于这些势中间有没有夹着别的势，数学家已经证明，以现有的公理体系，既无法证明这个命题，又无法证伪。

一些关于无穷的有意思的数学问题

说到这里，可能大家已经被“无穷大”这么一个神奇的东西迷住了。实际上，“无穷大”在数学中的确是一个神奇的玩意儿。

这一节的内容，其实和上面没什么关系。但我决定放在这里，就是通过几个由易到难的和无穷大相关的问题，提醒大家，一旦涉及到无穷，即使是可数无穷，很多时候它甚至不是有限的情况的“极限”，而是可能和“有限”的性质完全不同。一定不能凭借直觉来判断！

有理数相加

有限个有理数相加一定是有理数吗？（可数）无限个有理数相加一定是有理数吗？

相信这个问题很简单：有限个有理数相加相当于有限个分数相加，咱大不了通分，总能把最终结果写成两个整数的比值。但无限个有理数相加，我们直接看下面的例子就好：

左边=无理数，右边=无限个有理数相加，啧啧啧。

集合列交集

已知有（可数）无穷多个满足下列条件的数集
：

• 每一个
  
  都含有不可数无穷多的元素
  
• 
  
  

那么，

• 对任意正整数
  
  ，交集
  
  中是否一定包含无穷多个元素？
  
• 交集
  
  中是否一定包含无穷多个元素？
  

看起来，第二个问题不过是第一个问题的极限情况，但正确答案是：第一个是一定的，第二个就不一定了。

当
有限时，根据
这一关系，容易得出
。又因为每一个
都含有无穷多的元素，所以取
，显然
也应该有无穷多个元素。

但是如果我们取所有集合的交集，情况就不一样了。例如：取
。显然，这一列集合同时满足上面两个条件，但对于任意实数
，总能找到
使得
。从而，
（空集）！不仅不包含无穷个元素，而且是一个元素都没有！

小球入箱

设有一个无限容积的箱子和无穷多个标号为#1,#2,#3…的小球。第一次操作，将#1至#10号小球放入箱子，然后随机从中选择一个小球拿出来。第二次操作，将#11至#20号小球放入箱子，然后随机从箱子里剩下的（19个）小球中选一个拿出来。第三次操作，将#21至#30号小球放入箱子，然后随机从箱子里剩下的（28个）小球中选一个拿出来。就这样重复下去。显然，经过任意有限次操作，箱子里剩下的小球数和一共放进去的小球数量之比严格等于9：10。

那么，给定一个小球，它经过经过（可数）无限次操作后，留在箱子中的概率是
吗？

正确答案：不是！

我们来看一看：我们假设考察的小球是在第k次操作被放入的。则，放入后箱子里应该有
个球。从而，小球第一次留下的概率就是
。同理，第
次操作，我们是
个小球中随机拿出一个，所以小球留下的概率是
。以此继续往下，每次小球留下的概率是
，
… 从而，无限次操作后，小球留下的概率就是：

一直这样乘下去，乘无限次。

我们知道，
是一个随正整数
递增的序列。因此，

这就说明，

。同理，我们也可以得到

，

，等等。从而：

对于括号里的东西，显然分子分母中的
，
等可以相互抵消，经过无穷项相乘，最后的结果就是
。看看，对于给定的小球，不仅留下的概率不是
，而且直接是零！

看看，即使箱子里的小球的个数一定是越来越多，但是经过无限次操作，任何给定小球终将被取出。这就是数学。

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数学很神奇，有时也很反直觉。希望小可爱们能从这篇文章感受到数学独特的魅力。原创不易，希望大家多多喜欢，多多资瓷！~

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