R不可数的“覆盖”证明

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我们介绍一种证明实数集R不可数的简单方法，然后简单地聊聊这个主题。

在高中，你还没有学过实数集更精细的性质，那个随手就能画出的直线并没有肉眼可见的那么“通透”，它非常复杂。R的公理甚至都不能确定R的所有性质，这是哥德尔不完全性定理保证的。那些公理中，比较不平凡的就是所谓的连续性公理。这是数学通才之间的一次交流——亨利·庞加莱建议大卫·希尔伯特在原有的公理体系上加入这个独立的公理。独立性表明，如果把连续性公理删除，其它的公理是不能逻辑地推出它的。至于它的直观性，书上一般都是用戴德金分割来表述的。

为了发展和研究实数的内部结构，包括几何、拓扑、分析、代数等等，人们总结了七个关于连续性的等价命题，它们是：

1.确界存在原理；2.单调有界定理；3.闭区间套定理；4.有限覆盖定理【海涅-博雷尔定理】；5.聚点定理；6.闭区间列紧定理【波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理】；7.度量空间完备定理【柯西收敛定理】

它们每一个都在描述连续性，因为等价所以不会产生矛盾；因为表述不同，所以可以被用于不同的场合。我们介绍其中的第4个：有限覆盖定理【简记为H-B定理】。

一个以集合为元素的集合叫做集族，对于任意给定的一个集合A，它的某个“覆盖”是一个大的集族，集族的元素是A的一些子集。写成表达式就是：，每个都是A的子集。有的书会把写成“=”，这没有本质区别，只要被覆盖对象的元素都在覆盖的某些元素(集合)中能找到，覆盖的定义就是合理的。这个覆盖记为。记号有点像求和号，但是它不是求和，括号外面的小指标就是表示变量k从1取到m。m如果是某个正整数，表示覆盖是由有限个子集形成的，我们叫它有限覆盖，m可以取无穷大，这时，该覆盖就是无限覆盖。现在令是“开集”，那么就叫A的“开覆盖”。

什么是开集呢？对于我们的主题来说，你就把它理解成开区间就行。

●H-B定理：R中任意非退化【即端点值不同】闭区间[a,b]，它的任意开覆盖都有有限子覆盖。

子覆盖就是覆盖的一个“子集”【因为覆盖是集族，严格地说，子覆盖应该是“子族”】，比如，给定的开覆盖用了10个开区间来覆盖[a,b]，子覆盖可能用这10个中的6个就够了。定理中“任意开覆盖”表明，这个覆盖可以是有限或者无限，而“有限子覆盖”重点指，我们可以从任意一个无限的开覆盖中选出一个有限的子覆盖。

这是非常强的限制，因为它包括了无限开覆盖的情形。OK，就用这点铺垫，现在我们来证明R是不可数的。

证明：用反证法。假设R是可数的，那么R={x₁，x₂，……}。对于R的每个元素，我们都可以做一个区间包含它，即，那么，显然，是R的开覆盖。这时我们在R中任取一个闭区间[a,b]，则必有。根据H-B定理，其上的每个开覆盖必有有限子覆盖。于是，。我们定义，区间的长度就是其端点的差值，因此，覆盖的总长度就是各个开区间长度的和，那么表达式蕴含。

因为R是可数的，而且每一个点都有一个区间可以覆盖它，无论这个区间有多小【只要非退化】，那么我们任取一个正数ε，它满足0＜ε＜b-a，因为集族能覆盖R，那么令是以为中心、长的开区间，记为。于是我们有，计算覆盖的总长度：。结合上一段的结论，这意味着一个能覆盖整个R的集族，其总长度居然严格小于自己的有限子集的总长度！这个是矛盾。证毕。

怎么样，不算太难吧。

下面我们就这个主题多说几句。

证明实数集不可数有很多方式，一般来说最常见的是所谓“康托尔对角线证明”，它是如此的经典，以至于被收录到《数学天书中的证明》里，它被认为是天才的想法。网上有太多这个内容的介绍了，本文就不多说了，我们只说一点，这个方式是最直接、最有效的，但是它依赖实数集的表述方式：q进制。通常我们是选择2、3或者是10进制来表达。q进制的最大特点就是它不只是能证明R的不可数性质，利用q进制对R以及自然数集的所有子集“编码”，我们能证明它们是“等势”的。

很多数学“神秘主义者”或者一些民科，他们对实数的q进制展开怀有敌意，认为它们不能完全表达实数。进而认为对角线法不能严格地证明这个定理。但这不是重点，更加愚蠢的行为是他们借此来否定实数集的不可数性质。(做个不恰当吧比喻)假如从天津到北京如果5条路，其中一条是柏油马路，走的人最多，其它的都是沼泽地，虽然不是绝对不能通过，但是少有人走。某一天这条柏油马路被地震毁坏了，过不去了，你不能说天津到北京没有路了，只是“你”能不能从其它的路过去而已。

你可以不承认对角线证明法，但是你不能否认R的不可数性。殊途同归，这些“殊途”显然是在暗示，这个结论不可争辩的正确性。

一个非常经典且直接的方式是：我们对任意非退化的闭区间[a,b]利用“确界存在原理”，我们能证明它是不可数的，又因为R包含这样的区间，因此R是不可数的。根据我们前面说的，H-B定理和确界存在原理是七大等价命题中的两个，因此，本质上说，这个证明与我们的“覆盖证明”是同根同源的。

现在，你可以这么说，只要承认实数的确界存在原理，那么实数一定是不可数的。这个方法不需要那种q进制展开，换句话说它与实数的具体表达方式无关。显然，我们的“覆盖证明”也不依赖q进制。

我们还可以用紧致集的有限交的性质证明，或者我们能证明“非空、完全的完备度量空间是不可数”，进而知道R是不可数的，或者用“贝尔纲定理”证明。这些证明本质上都是属于拓扑的。它们都与实数的表达方式无关，是实数轴拓扑性质的体现，能影响该性质的只有实数公理！

因此，挑战实数不可数的结论其实就是在挑战实数公理，只要实数公理不被改变，任何基于现公理得到的关于实数是可数的结论都是错误的。

不过，我们还真有一个办法可以让实数集不可性质变得“模糊”，那就是站在更基础的公理体系层面，比如ZFC——集合论和当代数学主体的公理体系——这时，只要不承认选择公理，那么实数集是可数个可数集的并集就不能算错的。此时，可数个可数集的并不一定是可数集，没有选择公理，任意无穷大并不是都可以“比较大小”的。因此此时的实数集的基数是一个模糊状态。

这个方式的“好处”是，我们的实数集非常精炼，任意实数子集都是勒贝格可测的，换句话不存在不可测的实数子集，因此就没有所谓的“分球悖论”。勒贝格测度是数学分析的高级课程“实分析”的内容，它是为了对实数子集进行某种“测量”而发展的一种理论，通过它我们可以得到传统积分的扩展形式，进而可以对很多不可积分的函数进行积分。另外，按苏联伟大数学家的柯尔莫哥洛夫的研究结果，概率论的后期发展其实就是某种测度理论的选择。不可测集和分球悖论的存在都是因为有选择公理。

选择公理的存在，一方面给出了诸多反常【反直觉但无矛盾】例子的存在性，甚至它本身就是这些例子存在的根源；另一方面，选择公理保证了向量空间都有基底，且基底基数相同；集合的基数有意义且都可以比较。

那么，如果没有选择公理，对于实数轴上的数学分析会有什么影响呢？魏尔斯特拉斯关于函数连续性的定义和海涅的序列收敛定义【】将不再等价。对于任何熟悉数学分析的人来说，这是难以接受的。

因此，想通过否定选择公理来挑战实数不可数性质，相当于是在挑战半个数学世界。