可以求小数阶乘的伽马函数

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转载百度百科关于伽马函数（Gamma）函数的叙述：

令t=y^2,可得

历史背景

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16…..可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,…,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢？

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利，由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。欧拉于1729 年解决了这个问题，由此导致了伽玛函数的诞生，当时欧拉只有22岁。

图1

第一个等号是等比级数求和，第二个等号是直接积分，第三个等号是泰勒级数展开。第四个等号是积分与求和交换次序。按照上面推导，

必须等于1，所以

通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：

我们看到，图1中的推导并没有运用到太高深的数学理论，但这个问题哥德巴赫都无法解决，原来天才和我们普通人的区别就在于，能够运用现有的知识，去解决别人无法解决的问题。