高中数学:教你真正看懂“端点效应”解题策略

高中数学:教你真正看懂“端点效应”解题策略高考导数压轴题中常出现不等式恒成立求参数取值范围的问题 我们都知道它的通用解法是分类讨论 这是最基本的方法 然而其计算过程往往十分繁杂 分离参数 构造新的函数 利用函数图像的有界性也是常用的解法之一 不过其方法也不是十分容易 何况并非所有题

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高考导数压轴题中常出现不等式恒成立求参数取值范围的问题,我们都知道它的通用解法分类讨论,这是最基本的方法,然而其计算过程往往十分繁杂;分离参数,构造新的函数,利用函数图像的有界性也是常用的解法之一,不过其方法也不是十分容易,何况并非所有题目都可以分离出参数。

但若函数在区间端点处的函数值满足一定的特殊性(通常为端点处的函数值为0),就可以使用我们本节课要介绍的另外一种简单且行之有效的解法:端点效应,来求解参数的取值范围。

高中数学:教你真正看懂“端点效应”解题策略

一、端点效应解题策略

它的解题过程一般主要可分为两步:

(1)考虑函数在区间端点值是否具有特殊性,缩小范围:通过不等式成立的必要条件求出参数的取值范围

(2)通过判断函数单调性求解,证明必要条件亦即充分条件

下面我来详细的描述一下解题方法:

题设:若不等式f(x,m)≥0,m为参数,在区间[a,b]上恒成立,求m的取值范围。

第一步,缩小取值范围:

分为三种情形:

(1)区间端点处函数值不为0,即f(a)≠0或f(b)≠0,则不能使用端点效应。但因为不等式f(x,m)≥0在区间[a,b]上恒成立,在端点处也成立,即应用f(a)≥0,f(b)≥0同样可以缩小参数的取值范围;

(2)区间端点值函数值为0型:若f(a)=0(或f(b)=0),但f’(a)≠0(或f’(b)≠0),则解f’(a)≥0(f’(b)≤0),求m的取值集合D;

(3)区间端点值函数值和导数值均为0型:即若f(a)=0(或f(b)=0),且f’(a)=0(或f’(b)=0),则解f’(a)≥0(f’(b)≥0),求m的取值集合D;

第二步,证充分性:

利用第一步求出的参数取值范围m∈D,求f’(x),f’’(x)判断单调性,进而判断不等式f(x,m)≥0是否恒成立,

二、端点效应例题详解

1、区间端点值为零型:

高中数学:教你真正看懂“端点效应”解题策略

2、区间端点值函数值和导数值均为0型:

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