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NOIP2008提高组 传纸条

题目描述

    小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

    还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入输出格式

输入格式：

    输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出格式：

    输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入样例：

    3 3

    0 3 9

    2 8 5

    5 7 0

输出样例：

    34

说明

30%的数据满足：1<=m,n<=10

100%的数据满足：1<=m,n<=50

解题分析

    如果分别从起点到终点和从终点到起点分别进行利用DP确定最大值（第一次经过的点做标记），显然不行，因为两条路径不能交叉，且并不能保证总体最大。

    因此必须同时进行动态规划，并假设都从起点出发。

    假设第一条路径的第一步是横向走，第二条路径是纵向行走，则两条路径具有如下特点：

    两条路径不能经过同一点。

    当都走到第k步时，第一条路径第k个点的横坐标一定小于第二条路径第k个点的横坐标，第一条路径的第k个点的纵坐标一定大于第二条路线第k个点的纵坐标。

    因此，假设状态为:f(i, j, k, l)，表示两条路径
同时走到某步时的好心程度和的最大值，其中(i, j)为第一条路径的坐标，（k, l）为第二条路径的坐标，则有i<k, j>l，且i+j=k+l，由于第二个条件的限制，因此可设状态为：f(i, j, k)。

    状态转移方程：f(i, j, k)=max(f(i-1, j, k-1), f(i, j-1, k-1), f(i-1, j, k), f(i, j-1, k) + matrix[i][j] + matrix[k][i+j-k]。

    初始值：f(1,1,1) = matrix[1][1]，即刚开始都是从(1, 1)出发。

    最终结果为f(m-1, n, m)。

    复杂度：O(m*m*n)

#include 
   
    
#include 
    
     
#include 
     
      
#include 
      
       
#include 
       
         #include 
        
          #include 
         
           using namespace std; #define N 55 int m,n; int grid[N][N] = {0}, f[N][N][2*N] = {0}; int get_i(){ int ans = 0; char ch = getchar(); while(ch<'0' || ch>'9') ch = getchar(); while(ch<='9' && ch>='0'){ ans = ans * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } return ans; } int main(){ ios::sync_with_stdio(false); int i, j, k, l, t; m = get_i(), n = get_i(); for(i=1; i<=m; i++) for(j=1; j<=n; j++) grid[i][j] = get_i(); f[1][1][1] = grid[1][1]; for(i=1; i
          
           =j || l<1) // 对l<1不能省 break; f[i][j][k] = max(max(f[i-1][j][k-1], f[i][j-1][k-1]), max(f[i-1][j][k], f[i][j-1][k]))+ grid[i][j] + grid[k][l]; //cout<
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