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平稳性检验（描述性）与纯随机性检验

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平稳性检验（描述性）与纯随机性检验这篇博客主要记录人大出版《应用时间序列分析》第二章的笔记。本章主要介绍进行时序分析前的预处理，即平稳性检验与纯随机性检验。平稳性检验（描述性）平稳性检验的方法分为描述性方法与计量性方法。前者主要指时序图检验、ACF图检验，后者主要指DF检验、ADF检验与PP检验。由于计量性方法需要ARMA模型的相关知识，这篇博客仅仅介绍描述性方法。时序图检验时序图检验即是通过观察时序图…

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这篇博客主要记录人大出版《应用时间序列分析》第二章的笔记。本章主要介绍进行时序分析前的预处理，即平稳性检验与纯随机性检验。

平稳性检验（描述性）

平稳性检验的方法分为描述性方法与计量性方法。前者主要指时序图检验、ACF 图检验，后者主要指 DF 检验、ADF 检验与PP检验。由于计量性方法需要 ARMA 模型的相关知识，这篇博客仅仅介绍描述性方法。

时序图检验

时序图检验即是通过观察时序图来判断时间序列是否平稳。Python 中画时序图的代码如下：

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
data = pd.DataFrame({'2010-01-01': 10.00, '2010-01-02': 13.00, '2010-01-04': 13.50, '2010-01-05': 13.50, '2010-01-06': 14.50, '2010-01-07': 16.00, '2010-01-08': 20.50, '2010-01-10': 24.50, '2010-01-11': 27.50, '2010-01-12': 30.50}, index=['price'])
data = data.T
data['price'].plot()
plt.show()

作图结果如下：

平稳性检验（描述性）与纯随机性检验

其实就是使用 pandas 中内置的折线图。

具体如何通过时序图来检验平稳性呢？平稳时序定义要求均值、方差为常数，协方差仅仅与时间间隔相关。从定义入手，时序图满足以下任一条件的不是平稳时序：

  • 时序存在明显的趋势，即均值不为常数
  • 时序存在集群效应，即某段时间的波动幅度较其它时段明显较大或者较小，即方差不为常数

下图为集群效应的一个例子：

 

 

平稳性检验（描述性）与纯随机性检验

时序中间时段的波动幅度明显大于两端，可以认为时序存在集群效应，为非平稳时序。集群效应在金融时间序列中往往十分常见。

ACF图检验

上篇博客中介绍了自协方差函数的定义与作图方法，链接：https://blog.csdn.net/weixin_44607126/article/details/89086035

平稳时序往往仅具有短期自相关性，长期的 ACF 会振荡随机趋近于0。因此，当 ACF 图不满足这一条件时，可以认为时序非平稳。如何理解振荡与随机呢？下面给出几个 ACF 图检验的例子。

平稳性检验（描述性）与纯随机性检验平稳性检验（描述性）与纯随机性检验

上图在 k >= 2 时就已经趋于 0 了，但是并没有满足随机趋于 0 的条件，该图中的 ACF(k) 先连续4项正值，然后连续6项负值，整个图形呈现出倒三角的形状，这意味着时序中存在明显的趋势，为非平稳时序。事实上，这是一条单增时序的 ACF 图。

平稳性检验（描述性）与纯随机性检验平稳性检验（描述性）与纯随机性检验

上图是平稳时序的 ACF 图的一个例子，可以看到 ACF(k) 没有出现规律性，振荡随机趋近于0，可以认为时序平稳。

总结来看，当 ACF 图满足下列任一条件时，可以认为时序为非平稳时序：

  • ACF 图正项与负项连续交替出现，呈现倒三角形，意味着时序中存在趋势
  • ACF 图拖尾，即当 k 很大时仍有 ACF(k) 显著

描述性检验方法的注意事项

无论是时序图还是 ACF 图，使用它们作为检验方法时都具有较强的主观性，没有引入客观的统计量。因此，时序图与 ACF 图仅能用来排除非平稳时序，不能用来判断一个时序是否是平稳时序！即描述性检验方法仅仅是为计量性检验方法作一个初步筛选，如果时序没有通过描述性检验方法，就不需要进行计量性检验了；而即使时序通过了描述性检验方法，仍需要进行计量性检验来进一步确认时序为平稳时序。

纯随机性检验

在进行时序分析之前，我们需要确认这个时序不是一个单纯的噪音，而是蕴含着可以用模型描述的信息。因此需要对时序进行纯随机性检验。

白噪声的定义

我们称满足下列条件的时序为白噪声（纯随机时序）：

  1. EX_{t}=\mu
  2. Var(X_{t})=\sigma ^2
  3. Cov(X_{t}, X_{t+k})=0, \forall t, k

白噪声满足均值与方差均为常数，且不同时刻上的随机变量不相关。显然，白噪声是一种平稳时序。

从白噪声的定义中可以看出，对于白噪声时序，历史数据不能提供关于未来的信息，此时建立时序模型将会是徒劳的。因此在蚝时序建模前需要进行白噪声检验。同时，白噪声还可以用来判断时序模型总体的显著性，当模型残差是白噪声序列时，就可以认为模型已经充分提取了时序信息。

Barlett定理

如果一个时序是纯随机的，得到一个观察期数为 n 的观察序列，那么该序列的延迟非零期样本自相关系数近似服从 N(0, \frac{1}{n})的正态分布。

仅仅想在应用层面理解时序则不必深究上述定理。

BP检验

根据 Barlett 定理，可以构建 Q 统计量：Q=n\sum_{k=1}^{m}\widehat{\rho}_{k}^2

则有 Q$\sim$\chi^2(m)，其中 m 为指定最大延迟期数，\widehat{\rho}_{k}^2 为 k 期延迟样本自相关系数。原假设为时序是白噪声序列，当 Q 大于单侧检验临界值时认为时序不是白噪声序列。

LB检验

LB 检验是在 BP 检验的基础上进行了一些修正，使其更适用于小样本。LB 统计量表达式为：LB=n(n+2)\sum_{k=1}^{m}\widehat{\rho}_{k}^2/(n-k)

在实际应用中通常使用 LB 检验。

在python中进行 LB 检验的代码如下：

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
print(acorr_ljungbox(np.random.rand(100), lags=[6, 12]))

lags 即上面公式中的m ， 通常取 6 与 12。

输出如下：

(array([2.02502998, 8.28247283]), array([0.91738225, 0.76268484]))

第一个 array 是 LB 统计量的数值，第二个 array 是 p 值。当 p 值小于显著性水平时认为时序不是白噪声。

总结

  1. 在进行正式的时序建模前需要检验时序的平稳性与纯随机性
  2. 平稳性检验可以通过时序图、ACF 图等描述性方法，但依然要使用 ADF 检验、PP 检验来最终判断
  3. 纯随机性检验可以使用 BP 统计量与 LB 统计量，通常使用 LB 统计量

误区

  1. 仅仅通过时序图与 ACF 图就断定一个时序是平稳时序：时序图与 ACF 图仅仅只能用于判断非平稳时序，不能用于判断平稳时序
  2. 不画时序图与 ACF 图，直接对时序进行 ADF 检验与 PP 检验：描述统计是必不可少的步骤，通过时序图与 ACF 图可以清楚看出时序的趋势性与周期性
  3. 在正式建模之前不检验时序的纯随机性，认为仅仅检验时序的平稳性就足够了：白噪声时序也是平稳序列，但是没有分析的价值
  4. 在正式建模之后不检验残差序列的纯随机性：残差序列的纯随机性检验有点类似于多元回归中的 F 检验，检验的是模型总体的显著性水平

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