导数的定义、性质与求导

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导数的定义与定义法求导

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作f’(x).
如果该函数点点可导，则可生成导函数。
定义法求导：直接通过导数的定义求导，求极限。

函数的四则运算的导数

函数加减的函数，就等于导函数的加减.
函数相乘的函数的导数等于一个函数乘以另一个导函数加另一个函数的导函数乘以剩余函数。
函数比值的导数，可以用乘法导数套用。
反函数的导数,f-1(y)=1/f’(x)。

复合函数的求导法则

f(x),g(x)为两个函数，F(x)=f(g(x)),那么F(x)’=f’(g(x))g’(x)。(dy/dy=dy/dudu/dx,链式法则。)
隐函数的求导法则：函数表达式不为标准的形式，如函数表达为x^2+y2=1.直接把y看成关于x的函数，左右两边直接对x求导，可以得到y’(x)（表达式中可以有y的存在）。
参数式的求导法则：
x=x(t).
y=y(t).
y’(x)=y’(t)/x’(t)
极坐标求导法则可直接使用链式法则推算。r=r(t)
x=r(t)cost,y=r(t)sint.
dy/dx=dy/dtdt/dx=y’/x’

不定式

f(x),x趋向于a的极限为A,g(x)，x趋向于a的极限为B。当两个极限运算时,出现如下情况称为不定式：
∞ ，-∞ ，0*∞ ,0/0,∞ /∞, 1无穷次方，0的0次方，无穷的零次方。
零比零型
若函数 和 满足下列条件：
⑴ f(x)的极限为0，g(x)的极限为0 ；
⑵ 在点 a 的某去心邻域内两者都可导，且g(x)‘≠0 ；
⑶ f’(x)/g’(x)，x趋向于a的极限为A
那么f(x)/g(x),x趋向于a的极限也为A.
单侧极限也成立，把a改为正负无穷，同样成立。
无穷比无穷型
若函数 和 满足下列条件：
⑴ g(x)的极限为∞；
⑵ 在点 a 的某去心邻域内两者都可导，且g(x)‘≠0 ；
⑶ f’(x)/g’(x)，x趋向于a的极限为A(A可为常数或者正负无穷。)
那么f(x)/g(x),x趋向于a的极限也为A.
单侧极限也成立，把a改为正负无穷，同样成立。
多次使用洛必达法则时要验证f’(x)/g’(x)的极限是否存在。
附初等函数求导表：