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【控制】Z变换及其原理讲解
【Matlab 控制】 拉氏变换和Z变换

拉氏变换原理分解理解

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数 $t(t\ge 0)$ 的函数转换为一个参数为复数 $s$ 的函数。

拉普拉斯变换是对于 $t\ge 0$ 函数值不为零的连续时间函数 $x(t)$ 通过关系式

$$X(s)={\int }_o^{\infty }x(t)e^{-st}dt$$

(式中 $-st$ 为自然对数底 $e$ 的指数)变换为复变量 $s$ 的函数 $X(s)$。它也是时间函数 $x(t)$ 的“复频域”表示方式。

1. 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换
如果定义：
$f(t)$ 是一个关于 $t$ 的函数，使得当 $t<0$ 时候，$f(t)=0$；
$s$ 是一个复变量；$\mathcal{L}$ 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分，$F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉普拉斯变换结果。
则 $f(t)$ 的拉氏变换可由下式给出：

$$F(s)={\int }_o^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

2. 拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换是已知 $F(s)$ 对 $f(t)$ 进行求解的过程，用符号 ${\mathcal{L}}^{-1}$ 表示。

Ref:
拉普拉斯变换-百度百科

（1）反演公式

$$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\omega }^{\sigma +j\omega }F(s)\cdot e^{ts}ds$$

（2）查表法（分解部分分式法）

1. 试凑法
2. 系数比较法
3. 留数法

From: 自动控制原理（西北工业大学 卢京潮）-P7

3. 拉氏变换的一些性质

（1）线性性质

$$\mathcal{L}[a{f}_1(t)\pm b{f}_2(t)]=a{F}_1(s)\pm b{F}_2(s)$$

（2）微分定理

$$\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]=s\cdot F(x)-f(0)$$

（3）积分定理

$$\mathcal{L}[\int f(t)dt]=\frac{1}{s}F(s)+\frac{1}{s}{f}^{(-1)}(0),右上角-1表示1次积分运算$$

（4）实位移定理

$$\mathcal{L}[f(t-{\tau }_0)]=e^{-{\tau }_{0}s}F(s)$$

Proof: $$左={\int }_0^{\infty }f(t-{\tau }_0)e^{-ts}dt$$

令$t-{\tau }_0=\tau$

$$={\int }_{{\tau }_0}^{\infty }f(\tau )e^{-s(\tau +{\tau }_0)}d\tau =e^{-{\tau }_{0}s}{\int }_{-{\tau }_0}^{\infty }f(\tau )e^{-\tau s}d\tau =右$$

（5）复位移定理

$$\mathcal{L}[e^{At}f(t)]=F(s-A)$$

Proof: $$左=$$

（6）初值定理

$$\underset{t\to 0}{\lim }=\underset{s\to \infty }{\lim }s\cdot F(s)$$

（7）终值定理（原函数终值需要确实存在）

$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot F(s)$$

From: 自动控制原理（西北工业大学 卢京潮）-P6

2. 常见函数拉氏变换

From: 拉氏变化-自动控制原理

4. 拉氏变化拆解

4.1 傅里叶变换

再一个我们常接触的变换就是傅里叶变换了，网上对傅里叶变换的讲解非常多，知乎上也有很多大神对傅里叶变换进行了详解。但网上讲了这么多，其实只占傅里叶变换的一小部分，还有大量的细节值得挖掘。比如，复频率的含义，离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系​，傅里叶级数和傅里叶变换的关系等等。我也会在以后尽力分享一些关于傅里叶变换的内容。书归正传，傅里叶变换就是将信号从时域变换到频域下。那么，为什么要将信号从时域变换到频域呢？或者说，为什么频域这么重要呢？

我们可以从定义中找到答案。因为，傅里叶变换是将信号展开到三维中，一维是频率轴，一维是实数轴，另一维是复数轴。而信号原来只是一个时间轴和幅值轴，是一个二维信号。那么，显然将一个信号从二维展开到三维上，就可以让我们看的更清楚。就像一张二维的白纸，如果在二维空间中观察，我们只能看到它的形状。而到了三维空间，我们不仅可以看出形状，还可以知道白纸是有正反面的，还可以对这个白纸进行各种扭曲、折叠等等操作。​这部分其实应该画图说明一下，以后一定补上。

自动控制原理也可以称为经典控制理论，其核心就是利用拉普拉斯变换分析系统特征，如系统稳定性、响应速度、稳态误差等等。别看自动控制原理里面感觉内容很多很杂，其实大体可以粗略分为四大块：

1. 如何将系统写为拉氏变换，
2. 如何用拉氏变换定性分析系统（根轨迹），
3. 如何用拉氏变换定量分析系统（频率法），
4. 如何利用拉氏变换设计控制系统（控制器的设计）。

可以看出，拉氏变换才是自控的那根主心骨，学好拉氏变换就能很形象的理解自控里面的很多概念和理论。特别是稳定性定理，在自控中占用了大量篇幅介绍各种稳定性判据，各种变形，到现在我也没记清过到底应该是怎么回事。其实，我们只要理解了稳定性判据的根源，其他各种变形也就很容易理解了。​

From: 变换是一种方法论
From: 解开自动控制原理的核心——拉氏变换

5. Matlab代码实现

Matlab 拉氏变换和Z变换