线性代数【10】 相似矩阵

线性代数【10】 相似矩阵前言:提前说明一下,这一节有一点晦涩难懂,我也是看了好多遍。所以一定要有耐心,我把视频老师讲的地方重新演说了一遍,希望能够协助你理解。1 相似变换:研究的是方阵,相似变化的目的是简化。2 矩阵的对角化方阵简单形式,也就是一个方阵能不能和一个对角阵相似【注意,我们的根本目的还是简化计算】也就是找到对角化矩阵是最终目的,相似矩阵是手段。下面的式子,也就是,P是A的相似矩阵运算定义的一个可逆方阵,∧是A的相似矩阵,他们是互为相似,也…

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前言:

提前说明一下,这一节有一点晦涩难懂,我也是看了好多遍。

所以一定要有耐心,我把视频老师讲的地方重新演说了一遍,希望能够协助你理解。


 

1 相似变换:

研究的是方阵,

线性代数【10】 相似矩阵

 线性代数【10】 相似矩阵

 线性代数【10】 相似矩阵

相似变化的目的是简化。

2 矩阵的对角化

方阵简单形式,

线性代数【10】 相似矩阵

 

也就是一个方阵能不能和一个对角阵相似

 

【注意,我们的根本目的还是简化计算】也就是找到对角化矩阵是最终目的,相似矩阵是手段。

下面的式子,也就是,

P是A的相似矩阵运算定义的一个可逆方阵,∧是A的相似矩阵,他们是互为相似,也就是下面的第三行,

我们做一个假设,就是下面第四行,

线性代数【10】 相似矩阵

下面就这个假设展开,

 线性代数【10】 相似矩阵P1为第一列,这里分别是一个对角阵和一个由列向量组成的矩阵:

我们进行矩阵运算,进行变形,

线性代数【10】 相似矩阵

线性代数【10】 相似矩阵 线性代数【10】 相似矩阵

线性代数【10】 相似矩阵

到这里,我们上面的假设推出的结论如上,第四行,这个不就是特征值和特征向量的定义吗?

我们回顾一下,

(7条消息) 线性代数【9】 – 特征值和特征向量_山云的专栏-CSDN博客

线性代数【10】 相似矩阵

Pi不就是X,于是有如下结论: 

线性代数【10】 相似矩阵


 下面这题是,反之亦然的引用:

就是假如我们知道是特征向量,我们可以把矩阵 ,通过一对可逆的同阶方阵,搞成他的特征向量和特征值组成的一个对角矩阵的关系式子了。

也就是我们实现了根本目标,化简了!!!


线性代数【10】 相似矩阵

以上是结论,

线性代数【10】 相似矩阵

逆阵的求法,老师视频省略了,方法可以看到之前博客:

​​​​​​(7条消息) 线性代数【6】- 初等行变换和矩阵的秩_山云的专栏-CSDN博客

第2节,

这里我演算了一下,

 线性代数【10】 相似矩阵

 

 线性代数【10】 相似矩阵

这个例子,我们就是证明了,

一个普通的方阵,

线性代数【10】 相似矩阵

被一对可逆的方阵,

线性代数【10】 相似矩阵 

搞成了一个具备大致性质的对角阵,

线性代数【10】 相似矩阵

 


 线性代数【10】 相似矩阵

 要对角化,就是要实现我们刚才得出的结论,找到他的特征。。。

对角化的充分必要条件,就是找到两个线性无关的特征向量。

线性代数【10】 相似矩阵

上面,第一行,我们用特征向量的定义代入,求出特征值。

线性代数【10】 相似矩阵

 

然后,依据这个特征值解特征向量。我们求出他的特征向量和基础解系。

【案,我详细写了一下】

 我们由特征向量的一般式得出特征值后,代入这个系数行列式里面,得出系数行列式。

然后,用前面的方法,求他的基础解系。

 线性代数【10】 相似矩阵

 这里只有一个线性无关的特征向量,

线性代数【10】 相似矩阵

 线性代数【10】 相似矩阵

可逆 = 线性无关。

线性代数【10】 相似矩阵

 


线性代数【10】 相似矩阵 

 既然有相似的对角阵,则必有特征值和特征向量对,我们代入特征方程求解行列式,线性代数【10】 相似矩阵

 用代数余子式展开

 线性代数【10】 相似矩阵

 依据,定义就把A的对角阵相识矩阵,安装特征值写成来了。至于可逆矩阵,这个是工具我们不考虑了。


 线性代数【10】 相似矩阵

 

线性代数【10】 相似矩阵

由上节知识:迹的概念,

 线性代数【10】 相似矩阵

 线性代数【10】 相似矩阵

 线性代数【10】 相似矩阵

只需要依次求出P的列向量,而列向量和对角阵(特征值)B的相应的特征向量对于。

第一列,应该对应B的“2”的特征值的特征向量,

第2列,应对于“Y”的特征值的特征向量

第3列,对于B的“-1”列的特征向量

求齐次线性方程的基础解系,

首先有,特征向量2,利用λ=2,代入特征方程的公式,计算行列式的系数,然后,化为阶梯阵,将非阶梯点的变量设定为自由变量,进行求解。

 线性代数【10】 相似矩阵

同理,Y=1,那么就是对应1的 

 线性代数【10】 相似矩阵

同理,

 线性代数【10】 相似矩阵

这样,我们求出了3个“列”特征向量,然后,依据对应关系,我们将列向量合成一个特征值向量。

线性代数【10】 相似矩阵


 线性代数【10】 相似矩阵

检测,向量的线性相关性,3个向量是线性无关的。那么,对角化的充分必要条件,就是要有3个线性无关的特征向量,我们现在有3个,那么,一定可以对角化。,

线性代数【10】 相似矩阵

 

 

 

 

 

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