二次剩余理论

定义：设 $m$ 是正整数 若同余式

$$x^2 \equiv a(mod \ p),\  (a, p)=1$$

有解，则 $a$ 叫做模 $p$ 的二次剩余（或平方剩余）；否则，$a$ 叫做模 $p$ 的二次非剩余。

欧拉判别条件：

设方程

$$x^2 \equiv a (mod \ p), \ \ (a,p)=1,p为奇素数$$

(i) $a$ 是模 $p$ 的二次剩余的充分必要条件是

$$a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1(mod \ p)$$

(ii) $a$ 是模 $p$ 的二次非剩余的充分必要条件是

$$a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1(mod \ p)$$

并且当 $a$ 模 $p$ 的二次剩余时，同余式有两个解。

定理1：$x^2 \equiv a(mod \ p)$ 中有 $\frac{p-1}{2}$ 个 $a$ 能使得方程有解

也就说有 $\frac{p-1}{2}$ 的二次剩余。

例如，1，2，4是模7的二次剩余，-1，3，5是模4的二次非剩余。

 勒让德（Lagendre）符号：

设 $p$ 是素数，定义如下：

$$\left({n\over p}\right)=\begin{cases}1, \ \ \ \ p不是n的倍数,n是p的二次剩余\\-1, \ \ p不是n的倍数，n是p的二次非剩余（不是二次剩余就是非剩余）\\0, \ \ \ \ p是n的倍数
                                         \end{cases}$$

有定理1知，$p-1$ 中有一半为1，一半为-1.

根据欧拉判别法则，设 $p$ 是奇素数，对任意整数 $a$，

$$(\frac{a}{p}) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} (mod \ p)$$

二次互反律：若 $p, q$ 是互素奇素数，则

$$(\frac{q}{p}) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}(\frac{p}{q})$$

参考链接：https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204