营养搭配Lingo

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1. 问题重述

某学校为学生提供营养套餐，希望以最小费用来满足学生对基本营养的需求，按照营养学家的建议，一个人一天对蛋白质、维生素 A 和钙的需求如下：
50g 蛋白质 4000IU(国际单位)维生素 A 和 1000mg 钙。我们只考虑以下食物构成的食谱：苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：
(1)对维生素 A 的需求增加一个单位时，是否需要改变食谱?成本增加多少?如果
对蛋白质的需求增加 1g 呢?如果对钙的需求增加 1mg 呢?
(2)胡萝卜的价格增加 1 角时，是否需要改变食谱?成本增加多少?

2.模型假设

1.不考虑学生的口味偏好问题，只考虑价格最低，即某些原料可以取零。
2.为了便于计算，不考虑原材料的浪费问题，即吃什么买什么。
3.不考虑其他因素对食材营养成分的改变，仅考虑食材给定的分布情况。

3.符号说明

4.问题分析

均衡膳食还包括各种维生素和矿物质的摄取量。只有营养结构合理，身体才能健康。要进行营养配餐，首先要了解各种食物的营养成分及其含量，然后根据人体对热能、蛋白质、矿物质、维生素的需要，选择搭配食物，进行合理烹调。
对本题而言，可以处理为一个优化问题，这个优化问题的目标是使每天的每个人的食材消耗最少，同时又满足营养指标，要做的决策是搭配计划，即每人每日的食材种类和数量。决策受到四个（若为整数，则为五个）条件的约束：蛋白质下
限，钙含量下限，维他命下限，同时食材的数量默认为非负。
综上，此题即为整数规划问题（若可以取小数则为一般线性规划问题）。

5.模型建立与解决

基本模型

决策变量：

目标函数：假设第𝑖种食材的数量为𝑥(𝑖)，则总的价格最小可以表示为：

约束条件：

蛋白质：根据实际要求，每日的蛋白质含量不得低于 50g：

维他命：根据实际要求，每日的维他命含量不得低于 4000：

钙含量：根据实际要求，每日的钙含量不得低于 1000mg：

非负约束：同时要求第𝑖种食材的数量𝑥(𝑖)数量大于等于零:

综上，将各方程联立即可得到该模型的数学表达：

模型分析：
·比例性：每个决策变量对目标函数的“贡献”,与该决策变量的取值成正比;每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”,与该决策变量的取值成正比.
·可加性：各个决策变量对目标函数的“贡献”,与其他决策变量的取值无关;各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”,与其他决策变量的取值无关.
·连续性：每个决策变量的取值是连续的.比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性,连续性则允许得到决策变量的实数最优解，通过软件求解可得，该模型可以求得全局最优解

求解结果：Global optimal solution found.
Objective value: 269.3603
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 2
即全局最优为26.936元：
Variable Value Reduced Cost
NUM( 1) 0.000000 7.498990
NUM( 2) 0.000000 12.71380
NUM( 3) 49.38272 0.000000
NUM( 4) 0.000000 44.34007
NUM( 5) 2.805836 0.000000
只需49.4g的胡萝卜和2.8个鸡蛋就可以达到要求。
通过Lingo运行时，得到的结果矩阵图分析如下：

6.模型评价

本文就如何搭配不同食材，来使得搭配方案满足营养的要求，同时要求花费的费用最低，当然，方案尚且存在一些不合理之处。
不合理性：只考虑了利益最大化，没有考虑实际情况人们对食材的要求不同。
考虑不全：在实际情况中，鸡蛋的单位为个，所以要求必须为整数。
全局最优：多方面考虑，可以判断该线性规划存在全局最优并用软件求出。
Lingo:

model:
sets:
row/1..5/:num,price,vita,ca,protein,weight;
endsets
data:
price=10,15,5,60,8;
ca=9.6,7,19,57,22;
vita=73,96,20253,890,279;
protein=0.3,1.2,0.7,3.5,5.5;
weight=138,118,72,178,44;
enddata
!@for(row(i):@gin(num(i)));!是否需要考虑为整数规划;
@for(row(i):num(i)>=0);!每一项都必须大于等于零;
@sum(row(i):num(i)*protein(i))>=50;!蛋白质的约束条件;
@sum(row(i):num(i)*vita(i))>=4000;!维生素的约束条件;
@sum(row(i):num(i)*ca(i))>=1000;!钙的约束条件;
min=@sum(row(i):num(i)*price(i));!总价格最小;
sumw=@sum(row(i):num(i)*weight(i));!顺便计算一下总的重量;
end