数量积、向量积与混合积

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数量积：

对两个向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$进行运算，运算的结果是一个数，这个数等于$|\overrightarrow{a}|、|\overrightarrow{b}|$及它们的夹角$\theta$的余弦的乘积，则这个数称作数量积，记做：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$。

定义式：
$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$$

坐标表达式(空间坐标系)：
$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$
由定义式和坐标表达式可以求得两向量夹角$\theta$的余弦的乘积：
$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$$

数量积的特点：

• $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^2\cos 0=|\overrightarrow{a}{|}^2$
• 向量$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$的充要条件是$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$
• 两个向量数量积的结果是一个数

数量积的运算规律：

• 交换律： $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$
• 分配律：$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$
• 常数结合律： $(\lambda \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\lambda (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b});\lambda 为常数$

向量积：

设$\overrightarrow{c}$由$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$按下列方式定义出：

1. $|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$，其中$\theta$为$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$之间的夹角
2. $\overrightarrow{c}$的垂直于$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所决定的平面
3. $\overrightarrow{c}$的指向按”向量右手规则”从$\overrightarrow{a}$转向$\overrightarrow{b}来确定$

向量右手规则：
假设已经在平面上确定了x和y轴，若想再建立一个z轴将平面扩充成空间，且z轴既垂直于x轴，也垂直于y轴（即垂直于已有的平面）。因为数轴存在方向，所以可以有两条(正负各一条)，但是数轴必须要有一个正方向，所以必须从两条里面选一条做正方向，因此，有了向量右手规则*：把右手伸出来，摊开，四指先指向x的方向，然后自然弯曲90度，如果此时四指刚好指向y的方向，那么大拇指的指向就是z的正方向了。

则$\overrightarrow{c}$叫做$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的向量积，记做$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$

定义式：
$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$

坐标表达式：
$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$$

向量积的特点：

• $|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}|\sin 0=0$
• $\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$的充要条件是$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=0$
• 若$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$在同一平面内，则该平面的法向量$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$
• 由$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$可以知道，向量积的大小等于以$|\overrightarrow{a}|、|\overrightarrow{b}|$为边长的平行四边形面积的大小
• 两个向量向量积的结果是一个向量

向量积的运算规律：

• $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$，原因是右向量右手规则会得出两个大小相同方向相反的向量
• 分配律：$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$
• 常数结合律：$(\lambda \overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times (\lambda \overrightarrow{b})=\lambda (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$

混合积：

设已知三个向量$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$。先作两向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的向量积$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$，把所得的向量积与$\overrightarrow{c}$再做数量积，这样得到的数量就叫$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}、\overrightarrow{c}$的混合积，记做$[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]$

定义式：
$$[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$$

混合积的特点：

• 若$[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]=0$，则$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}、\overrightarrow{c}$共面