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动态规划

基本介绍

1、动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2、动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3、与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

4、动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

1、要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出

2、要求装入的物品不能重复

思路分析

利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0

(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略

(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} // 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,

提示：

v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值

v[i] : 表示当前商品的价值

v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值

当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}

图解

w = {1,4,3},分别表示吉他、音响、电脑的重量
v = {1500,3000,2000},分别表示吉他、音响、电脑的价格
1、开始的时候，v[i][0]=v[0][j]=0; “表”的第一行和第一列是0
2、之后背包重量从1榜开始（即红色箭头指向1榜位置），j=1
3、此时j>=w[0]=1,即背包的重量大于等于吉他的重量
4、v[i][j]，此时计算v[i-1][j]的值，也就是该格上面一格的值即0；计算
v[i]+v[i-1][j-w[i]],也就是吉他的值加上，扣去吉他的重量，剩余空间中最大存放前i-1格商品的最大价值相当于1500+v[0][0]=1500+0=1500
5、依次类推，再计算背包为2、3、4的情况，然后在计算音响、电脑的情况，即两个for循环遍历并填入表格

代码

public class DP { 
   
    public static void main(String[] args) { 
   
        int[] w = { 
   1, 4, 3}; // 重量
        int[] val = { 
   1500, 3000, 2000}; // 价值
        int m = 4; // 背部容量
        int n = val.length; // 物品个数

		// 价钱填入表格
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
		
		// 记录最佳情况路径
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
        
        // 两个for使得填入表第一行和第一列是0
        for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
   
            v[i][0] = 0;
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) { 
   
            v[0][i] = 0;
        }
        
		// 从1开始遍历
        for (int i = 1; i < v.length; i++) { 
   
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { 
   
            	// 重量大于背包
                if (w[i - 1] > j) { 
    
                    v[i][j] = v[i - 1][j];
                } else { 
   
// v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                    if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) { 
   
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        path[i][j] = 1;
                    } else { 
   
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
   
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) { 
   
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        int i = path.length - 1;
        int j = path[0].length - 1;
        while (i > 0 && j > 0) { 
   
            if (path[i][j] == 1) { 
   
                System.out.println("第" + i + "个商品放入背包");
                j -= w[i - 1];
            }
            i--;
        }
    }
}