三次样条差值例题matlab,三次样条插值的matlab实现「建议收藏」

三次样条插值的matlab实现

程序设计期中考查 MATLAB 在许多问题中，通常根据实验、 观测或经验得到的函数表或离散点上的信息， 去研究分析函数的有关特性。其中插值法是一种最基本的方法，以下 给出最基本 的插值问题——三次样条插值的基本提法： 对插值区间 进行划分： ，函数 在节点   b a, b x x x a n        1 0   x f y  上的值 ，并且如果函数 在每个小区间 上 i x     n i x f y i i     , 2 , 1 , 0   x S   1 ,  i i x x 是三次多项式，于 上有二阶连续导数， 则称 是 上的三次样条函数，   b a,   x S   b a, 如果 在节点 上还满足条件   x S i x    n i y x S i i     , 1 , 0 则称 为三次样条插值函数。   x S三次样条插值问题提法：对 上给定的数表如下.   b a, x…… 0 x 1 x n x y…… 0 y 1 y n y 求一个分段三次多项式函数 满足插值条件 式，并   x S     n i y x S i i     , 1 , 0 在插值区间 上有二阶连续导数。 这就需要推导三次样条插值公式：   b a, 记 在节点 处的值为 ( )(这不是给定插值问题数   x f  i x   i i m x f   n i    , 1 , 0 表中的已知值)。在每个小区 间 利用三次 插值公式，得三次插值   1 ,  i i x x Hermite 公式：， 。为了得到这个公         1 1 1 1         i i i i i i i i i m m x y x y x x S       1 ,   i i x x x 式需要 个条件： n 4(1).非端点处的界点有 个；(2).一阶导数连续有 个条件；(3).二阶导数连 n 2 1  n 续有 个条件，其中 边界条件： 1  n ○ 1     n n m x S m x S     0 0 ○ 2             n x S x S 0 0○ 3         1 6 5 0 0 4 0 3                 n n x S x S x S x S ○ 4 n y y  0         0 0 0 0 0 0             n n x S x S x S x S 其中： 且( ) 。         j i j i x j i, 1 , 0    0   j i x    0  j i x  1 , 0 ,  j i， 为对应变量的一阶导数。其推导过程如下：          j i j i x j i, 1 , 0  i m 为了确定 的值，把 展开为： i m   x S               1 3 1 2 3 2 1 2 2            i i i i i i i i i i y h x x h x x y h x x h x x x S+         , 1 2 1 2 2 2 1         i i i i i i i i m h x x x x m h x x x x 这里 ，对 连续求两次导，得： i i i x x h   1   x S。于是       i i i i i i i i i i i i i y y h x x x m h x x x m h x x x x S                  1 3 1 1 2 1 2 1 2 6 2 4 6 4 2 6 考虑 在节点 处的右极限值，得：   x S   i x。     i i i i i i i i y y h m h m h x S           1 2 1 6 2 4 0同理，在相邻小区间 上可得 的表达式为：   i i x x , 1    x S         1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 6 2 4 6 4 2 6                     i i i i i i i i i i i i i y y h x x x m h x x x m h x x x x S 及 在节点 处的左极限值为：   x S   i x 。利用 二阶导数于节点     1 2 1 1 1 1 6 4 2 0             i i i i i i i i y y h m h m h x S   x S 处的连续性条件 ， 这里 ，有下式成立： i x     0 0        i i x S x S 1 , 2 , 1     n i，用 除等式两                               2 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 i i i i i i i i i i i i i h y y h y y m h m h h m h i i h h 1 1 1   边，并注意 ，上式可 简记为：   1 1 , ,      i i i i i i i x x f h y y f y   , 1 , 2 , 1 2 1 1          n i g m m m i i i i i i  且       1 1 1 1 1 , , 3 1              i i i i i i i i i i i i i i i i x x f x x f g h h h h h h      最后求得 的线性方程组为： n m m   1(**)                                                                      n n n n n n