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前言

在Monte Carlo模拟技术中，许多地方都需要用到符合标准正态分布(高斯)的随机数来设计采样方案，因此了解如何用均匀分布随机数(实际上是均匀分布的伪随机数)来生成标准正态分布的随机数十分重要。本文将对这个最基本的问题做讨论，并提供c++11代码。

在讨论更高效的算法之前，我们先来看看能不能基于中心极限定理来设计算法。中心极限定理告诉我们，对于一组$i.i.d$的随机数 { x k } ∼ U ( μ , σ 2 ) \{x_k\}\sim U(\mu,\sigma^2) {
xk​}∼U(μ,σ2)，有$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i\to N(\mu ,{\sigma }^2/n)$。这个算法有两个问题：

1. 计算量大。生成一个数需要用n个均匀分布随机数。
2. 无法准确刻画正态分布的末端效应。生成的数均有界，不会是很大的数。

此外，如果用“拒绝采样(rejection sampling)“的思路，在覆盖$f(x)=c{e}^{-x^2/2}$的矩形内均匀投点，保留曲线下的点，则计算较复杂(exp函数)，而且舍弃点多代价大。

我们下面介绍两种更高效的算法：The Box–Muller transform 和 The Ziggurat algorithm。它们一个是对分布函数做了变换，另一个还是使用了“拒绝采样“的思路，但并不是简单的仅用一个大矩形覆盖。

The Box–Muller transform

The Box–Muller transform 把一对均匀分布随机数映射到一对标准正态分布随机数。它有两种形式：

1. 基本形式：用$(0,1)$均匀分布随机数，需要计算三角函数$\sin$和$\cos$；
2. 极坐标形式：用$(-1,1)$均匀分布随机数，且不需要计算三角函数。

我们希望计算积分$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2/2}dx$，可以先取它的平方并用极坐标表示，$$I^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(x^2+y^2)/2}dxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }r{e}^{r^2/2}drd\theta .$$可以看到极角$\theta$服从$(0,2\pi )$均匀分布，径向距离$r$服从$r{e}^{r^2/2}$分布函数(即$r^2$服从${\chi }^2分布$)。如果把$r$的累积分布函数(cumulative distribution function)写出来$$F(x)={\int }_0^{x}r{e}^{r^2/2}dr=1-e^{-x^2/2},$$我们就可以通过$F$的逆函数$F^{-1}(u)$，将均匀分布$u\sim U(0,1)$映射到目标分布，即$x=\sqrt{-2\ln (1-u)}$，也等价于$x=\sqrt{-2\ln u}$ (注意到如果$u\sim U(0,1)$，那么$1-u$也是)。

基本形式：
假设$U_1$和$U_2$是区间$(0,1)$上的均匀分布随机数，令
$Z_1=R\cos (\theta )=\sqrt{-2\ln U_1}\cos (2\pi U_2)$，
$Z_2=R\sin (\theta )=\sqrt{-2\ln U_1}\sin (2\pi U_2)$，
则$Z_1$和$Z_2$是两个独立的标准正态分布随机变量。

极坐标形式：
转换到极坐标的方法叫做Marsaglia polar method。该方法对水平和竖直方向$(-1,1)$正方形区域内均匀投点，把落在单位圆内的点$(x,y)$通过$s=x^2+y^2$映射到单位圆周上，即$(\frac{x}{\sqrt{s}},\frac{y}{\sqrt{s}})$，这样就可以不用计算三角函数。由于$s\equiv r^2$独立于极角，且在区间$(0,1)$上均匀分布（因为$\int \int dxdy=\int \int rdrd\theta =\int \int \frac{1}{2}d{r}^{2}d\theta$），因此可以用这个$s$继续得到径向距离$\sqrt{-2\ln (s)}$。于是我们有：
$Z_1=\sqrt{-2\ln U_1}\cos (2\pi U_2)=\sqrt{-2\ln s}\left(\frac{u}{\sqrt{s}}\right)=u\cdot \sqrt{\frac{-2\ln s}{s}},$
$Z_2=\sqrt{-2\ln U_1}\sin (2\pi U_2)=\sqrt{-2\ln s}\left(\frac{v}{\sqrt{s}}\right)=v\cdot \sqrt{\frac{-2\ln s}{s}}.$
极坐标形式对应的c++代码如下（顺带说一下，c++标准函数库libstdc++里std::normal_distribution用的就是Marsaglia polar method，见这里）：

//
// Marsaglia polar method. C++11 代码
// 由于生成的是一对i.i.d.高斯变量，每次生成的两个样本都可以利用起来！
//
bool _M_saved_available=false;
if (_M_saved_available) //输出下面暂时储存的x*mult
{
    _M_saved_available = false;
    return = _M_saved;
}
else
{
    double x, y, r2;
    do
    {
        x = 2.0 * rand() - 1.0;
        y = 2.0 * rand() - 1.0;
        r2 = x * x + y * y;
    }
    while (r2 > 1.0 || r2 == 0.0);
    
    const double mult = std::sqrt(-2 * std::log(r2) / r2);
    _M_saved = x * mult;
    _M_saved_available = true; //暂时储存x*mult，输出y*mult
    return = y * mult;
}

算法局限性： 尾部截断(Tails truncation)
由于计算机有数值精度限制，其表示的数字不可能无线接近0。比如，使用32bit精度，那么最接近0的数字是$2^{-32}$。因此，当$u_1$和$u_2$都取$2^{-32}$时，$x$的最大值是$\sqrt{-2\ln (2^{-32})}\cos (2^{-32})\approx 6.6$，即产生的随机数最大不会超过$6.6$个标准差，这意味着会有$2\times 10^{-11}$的比例(尾部)会因为计算机精度问题无法采样到，这在大规模生成高斯随机数和研究rare events的时候要特别注意。

The Ziggurat algorithm(金字形神塔)

The Ziggurat algorithm 属于rejection sampling的一种。这个方法适用于分布函数是单调递减的情况，而正态分布的正半轴就属于这种情况。

附录：Inverse transform sampling直观解释

数学解释： 假设$F(x)=Pr[X<x]$是CDF，并假设$u\sim U(0,1)$，定义映射$X=f(x)$，这个映射是$[0,1]\to R$。我们希望找到一个映射使得$X$恰好服从$F(x)$的CDF分布，即$Pr[f(U)<x]=F(x)$。显然，$f=F^{-1}$，因为$Pr[X<x]=Pr[f(u)<x]=Pr[u<F(x)]=F(x)$。

图像解释： 我们假设随机变量取值是离散的，比如一共有5种取值。右边是CDF，相当于把左边的概率“盒子“逐渐堆积起来，直到最后一列对应的$F$正好等于1。这时候对$F(x)$均匀采样的话，相当于在最后一列按照各个盒子面积的相对大小（各部分的概率大小）来采样，$F(x)$的逆函数只是用来回溯到对应的$x$而已。随机变量取连续情况同样适用上述论证过程。

[1]:
[2]: https://github.com/jmcmanus/pagedown-extra “Pagedown Extra”
[3]: http://meta.math.stackexchange.com/questions/5020/mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference
[4]: http://bramp.github.io/js-sequence-diagrams/
[5]: http://adrai.github.io/flowchart.js/
[6]: https://github.com/benweet/stackedit