Dijkstra算法时间复杂度分析[通俗易懂]

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之前一直默认Dijkstra算法时间复杂度为
$o(n^2)$，没有思考过具体的时间复杂度，今天把这个弄清楚。

Dijkstra算法的思路与关键点

• 思路：广度优先 + 松弛

1. 所有点分为两个集合$S$和$T$，$S$最开始只包括源点$s$，剩余点都位于$T$。$S$集合表示已经计算出最短路径的点集合，$T$表示尚未计算出最短路径的点集合。
2. 每次从集合$T$中选出一个与集合$S$距离最短的点$v$，将点$v$加入集合$S$。通过点$v$对集合$T$中的点进行松弛，即更新$T$中点的最短距离。
3. 不断重复此步骤2，直至T集合中无法找出与集合$S$相邻的点。

• 关键点：每次从$T$中选出的点，距离源点的距离一定不会被松弛，因此每次选出的点都将加入集合$S$.。

Dijkstra算法的时间复杂度

设图中的节点数为$n$，边个数为$m$，平均每个点的边数$k=m/n$

算法步骤2需要执行$n-1$次，每次从集合$T$中选出一个与集合$S$相距最近的点，具体实现方式有4种。

• 顺序遍历集合$T$
• 使用二叉堆作为优先队列
• 使用二项堆作为优先队列
• 使用斐波那契堆作为优先队列

前提知识：二叉堆，二项堆，斐波那契堆的各种操作时间复杂度

对于Dijkstra算法，给出时间复杂度的计算公式
$(n-1)\ast (T_{EXTRACT-MIN}+T_{DELETE}+T_{DECREASE-KEY}\ast k)$

下面对于上述四种方式，分别计算其时间复杂度。

1. $\begin{array}{rlr}时间复杂度& =(n-1)\ast (T_{EXTRACT-MIN}+T_{DELETE}+T_{DECREASE-KEY}\ast k)& \\ & =(n-1)\ast (n+1+k)& \\ & =n\ast (n+k)& \\ & =n^2+m& =n^2\end{array}$
2. $\begin{array}{rl}时间复杂度& =(n-1)\ast (T_{EXTRACT-MIN}+T_{DELETE}+T_{DECREASE-KEY}\ast k)\\ & =(n-1)\ast (1+\log n+k\ast \log (n))\\ & =n\ast (1+k)\log n\\ & =(n+m)\log n\end{array}$
3. $\begin{array}{rl}时间复杂度& =(n-1)\ast (T_{EXTRACT-MIN}+T_{DELETE}+T_{DECREASE-KEY}\ast k)\\ & =(n-1)\ast (\log n+\log n+k\ast \log (n))\\ & =n\ast (2+k)\log n\\ & =(2n+m)\log n\\ & =(n+m)\log n\end{array}$
4. $\begin{array}{rl}时间复杂度& =(n-1)\ast (T_{EXTRACT-MIN}+T_{DELETE}+T_{DECREASE-KEY}\ast k)\\ & =(n-1)\ast (\log n+\log n+k\ast 1)\\ & =n\ast (2\log n+k)\\ & =2n\log n+m\\ & =n\log n+m\end{array}$