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在前面文章《矩阵的四个基本子空间》中提到：
一个秩为r，m*n的矩阵A中，其行空间和列空间的维数为r，零空间和左零空间的维数分别为n-r，m-r，并且有行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。
“掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山！”，MIT教授如是说。那么什么是正交子空间呢？我们首先从我们熟悉的正交向量说起。
一、正交向量
判断两个两个向量是否正交—–>只需对向量作点乘（dot product）相加，即内积，等于0就是正交的，如
=0，则x和y是正交的，如果x是零向量，y任意或者y是零向量，x任意，那么这两个向量是正交的，即零向量与任何向量都正交。
证明如下：
由毕达哥拉斯定理：
且 = ,, =
替换毕达哥拉斯定理可得： + = + = + ++,
且 = ， 可得 = 0.
二 、正交子空间
定义：两个子空间正交即两个子空间的任意两个向量正交。
文章开头说到，行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。下面我们来证明行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。
零空间即是的解所组成的空间,展开上述式子左侧：
展开可以得到： = 0, ,它们的线性组合++… + x= 0.
而行空间就是各行的线性组合，所以行空间和零空间正交。
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