20-克拉默法则、逆矩阵、体积

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一、二阶矩阵的逆矩阵

　$A^{-1}$的公式：$\left[\begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{rr}{d} & {-b} \\ {-c} & {a}\end{array}\right]$

　在上面的例子中，我们知道$\frac{1}{a d-b c}$其实就是$\frac{1}{det A}$，而$\left[\begin{array}{rr}{d} & {-b} \\ {-c} & {a}\end{array}\right]$正好是每个元素的代数余子式组成的矩阵，然后进行了转置，事实上对于$n*n$矩阵：

$A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} C^{T}$

其中$C$是代数余子式矩阵（注意到转置符号），$A$第一行的代数余子式，对应$A^{-1}$中的第一列

　通过上面的公式计算逆矩阵，$A$的行列式需要将$n$项和对应的$n-1$矩阵对应的代数余子式相乘，相比这种方法，使用高斯-约尔当消元法求的逆矩阵更为简单。

二、证明上面的逆矩阵计算公式

　我们只需要验证$AC^T=(det A)I$即可

　$A C^{T}=\left[\begin{array}{ccc}{a_{11}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {a_{n 1}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{C_{11}} & {\cdots} & {C_{n 1}} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {C_{1 n}} & {\cdots} & {C_{n n}}\end{array}\right]$

　通过乘法得到的矩阵的第一行第一列的元素是：

$\sum_{j=1}^{n} a_{1 j} C_{j 1}=\operatorname{det} A$

　$AC^T$对角线上的每个元素都是上面计算得到的结果。现在我们需要验证$AC^T$对角线以外的元素都是0

　在二乘二的矩阵中，$A$的第一行乘$C^T$的第二列：$a(-b) + b(-a) = 0$，在高维矩阵中，$A$的第一行与$C^T$第二列的乘积可以看作是第一行第二行相同的矩阵（奇异矩阵）的行列式，故乘积为零。（比较绕口：根据行列式计算方法-某行元素分别与各自代数余子式相乘，然后加和。那么我们想象一下：$A$的第一行与$C^T$第二列的乘积可以看作是哪个矩阵的行列式呢？这个矩阵就是第一行和第二行相同的矩阵，其行列式为零）对于$AC^T$对角线以外的其他元素，道理相似，均为0，所以上面的计算逆矩阵公式得以验证

　通过上面的逆矩阵计算式子，可以了解当矩阵变化时，逆矩阵会如何变化

三、克拉默法则（关于$x=A^{-1}b$）

　如果$A$是非奇异矩阵时，如果$Ax=b$，则$x=A^{-1}b$，结合$A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} C^{T}$，则

$x=\frac{1}{\operatorname{det} A} C^{T}b$

　克拉默（Crammer’s rule）法则提供了一种分解上述等式的方式。为了得到克拉默法则，将$x$的每个部分进行单独分析，因为$C^Tb$的第$i$部分是一组代数余子式和数字乘积之和，也可以看作是矩阵$B_j$的行列式，则有：

$x_{j}=\frac{\operatorname{det} B_{j}}{\operatorname{det} A}$

　$B_j$是矩阵$A$中的第$j$列替换为$b$得到的：

但是需要记住的是，使用克拉默法则计算并没有使用消元法效率高。

四、行列式求体积

　1）$|det A|$=盒子的体积

　　$|det A|$是由$A$的列向量组成的平行六面体盒子的体积。（也可以用行向量组成不同的盒子，但是体积是相同的。

　　如果$A=I$，则盒子是单位立方体，其体积为$1$，与行列式性质一相同

　　如果$A=Q$，且是正交矩阵，则盒子是一个不同方向的单位立方体，体积为 $1=|det Q|$，因为正交，所以$Q^TQ=I$，根据行列式性质9和10，$\operatorname{det} Q=\pm 1$

　　交换$A$的两列，并不会改变盒子的体积（因为$det A = det A^T$，交换两列后行列式只是符号变化，绝对值不变）

　2）知道盒子边角坐标，求面积

　　如由$\left[\begin{array}{l}{a} \\ {b}\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{l}{c} \\ {d}\end{array}\right]$组成的平行四边行面积为：$ad-bc$

　　由$\left[\begin{array}{l}{a} \\ {b}\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{l}{c} \\ {d}\end{array}\right]$组成的三角形的面积为平行四边形的一半：$\frac{1}{2}(ad-bc)$

　　另外，由$(x_1, y_1), (x_2, y_2),(x_13 y_3)$构成的三角形的面积是：

$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}{x_{1}} & {y_{1}} & {1} \\ {x_{2}} & {y_{2}} & {1} \\ {x_{3}} & {y_{3}} & {1}\end{array}\right|$