变限积分求导法则大全_积分上限函数求导法则

变限积分求导法则大全_积分上限函数求导法则变限积分求导公式证明及其推论[toc]1.变上限积分若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续,对任意$x∈[a,b]$,定义变上限定积分:$$Φ(x)=\int_a^xf(t)dt,x∈[a,b]$$2.引理若函数$f(x)$在$[a,b]

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变限积分求导公式证明及其推论

目录
  • 变限积分求导公式证明及其推论
    • 1.变上限积分
    • 2.引理
    • 3.重要推论

1.变上限积分

  • 若函数 \(f (x)\)在$[a, b] \(上连续 , 对任意\) x∈[a, b]$, 定义变上限定积分 :
\[Φ(x) = \int_a^xf (t) dt ,x∈[a, b] \]

2.引理

  • 若函数 \(f (x)\) 在 $[a, b] $上连续,则变上限定积分 \(Φ(x) = \int_a^xf (t) dt ,x∈[a, b]\) 在$ [a, b] $上可导 , 且 \(Φ’ (x) = f (x)\).

证明:

任取\(x∈[a, b]\),改变量\(\triangle x\)满足\(x+\triangle x\in[a,b]\),对应的改变量\(\triangle\Phi=\Phi(x+\triangle x)-\Phi(x)\)满足:

\[\begin{align} \triangle\Phi=&\Phi(x+\triangle x)-\Phi(x)\\ =&\int_a^{x+\triangle x}f(t)dt-\int_a^{x}f(t)dt\\ =&\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt \end{align} \]

由积分中值定理:

\[\begin{align} &\exist\xi\in[x,x+\triangle x]\sub[a,b]\\ s.t.&\to\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt=f(\xi)\cdot\triangle x\\ \therefore f(\xi)&=\frac{\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt}{\triangle x} \end{align} \]

因为\(f(x)\)\([a,b]\)上连续,所以:

\[\lim_{\triangle x\to0}f(\xi)=f(x) \]

即:

\[f(x)=\lim_{\triangle x\to0}\frac{\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt}{\triangle x}=\frac{d}{dx}(\int_a^{x}f(t)dt) \]

3.重要推论

若函数\(f(x)\)\([a,b]\)上连续,\(\phi(x),\varphi(x)\)\([a,b]\)上可微,则

\[\frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x) \]

证明:

这里只给出积分上限为复合函数的情况下的证明,下限同理。

\(F(x)\)\(f(x)\)的一个原函数,设:

\[\begin{cases} u=\phi(x)\\ v=\varphi(x) \end{cases},x\in[a,b] \]

则原式为:

\[\begin{align} \frac{d}{dx}(\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt)=& \frac{d}{dx}(\int_{a}^{u}f(t)dt)\\ (由链式求导法则)=&\frac{du}{dx}\cdot\frac{d}{du}(\int_{a}^{u}f(t)dt)\\ (由引理)=&\frac{du}{dx}\cdot f(u)\\ =&\frac{d}{dx}\phi(x)\cdot f(u)\\ =&f(\phi(x))\cdot\phi'(x) \end{align} \]

下限同理可证,于是可以得出:

\[\frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x) \]

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