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大纲

   1. 超平面的定义

   2.1 超平面的直观理解

   2.2 三维空间的超平面

   2.3 从二维空间直观理解超平面

   3. N维空间超平面的理解

   4. 计算样本空间任意点到超平面的距离

   5. 判断超平面的正反

1.超平面的定义

维基百科：超平面是n维欧式空间中余维度等于一的线性子空间，也就是必须是（n-1）维度。

     n维空间超平面由以下方程确定：

其中，w和x都是N维列向量，x为平面上的点，w为平面上的法向量，b为实数：代表原点到超平面的距离

      则（x1，x2，x3,….xn）*(w1,w2,w3,…wn)+b = w1*x1+w2*x2+……+wn*xn+b=0

特别的，对于3维的超平面是 w1*x1+w2*x2+w3*x3 +b = 0     （平面：ax+by+cz+d=0)

             对于2维的超平面是 w1*x1+w2*x2+b = 0                     (线：ax+by+c=0)

 2.1 超平面的直观理解

       直观上理解的超平面是样本空间中维度大于3，但实际上，超平面可以是点，线，面。

• 对于点而言，将线段分成两段（0维的点可以将1维的线分成两部分）

• 对于线而言，将面分成两面（1维的线可以将2维的面分成两部分）
• 对于面而言，将体分成两块（2维的面可以将3维的体分成两部分）

 2.2 三维空间的超平面

      在高中时候我们学过平面的方程，平面在我们“直观”的理解中就是在三维空间中的一张面

       平面A:    Ax+By+Cz+D=0

       其中n=（A,B,C)^T是平面A方程的法向量，x,y,z分别是在三维笛卡尔坐标系下的维度，D是系数

       平面性质：

                     1.方程是线性的

                     2.方程数量是1

      超平面是纯粹的数学概念，不是物理概念，它是平面中的直线、空间中的平面的推广，

只有当维度大于3,才能称为“超”平面。它的本质是 自由度比空间维度小1。自由度的概

可以简单理解为至少要给定多少分量的值才能确定一个点。例如在三维空间中，只要给定

了（x，y，z）中任意两个分量，剩下的一个的值就确定了，先确定值的两个分量是自由的。

   2.3 从二维空间理解超平面

    设R2(2维空间)中的点集 i=（x，y） 满足等式（点集相当于直线）

                                                a*x+1/b*y+c =0                              （1.1）

    则直线L:

                                                 y = -a*b*x-c*b                                  (1.2)

     进一步，采用换元法  ，令t等于x，则

                           点集  i = （x,y）=(t,-a*b*t-c*b) = t*(1,-a*b)+(0,-c*b)

    则直线L：是过（0，-c*b）,方向为（1，-a*b）的直线L

    这是，我们令 向量n=(a,1/b),则（1.1） 可以表示为 (数量积)

                                                 n*i + c =0                                         (1.3)

    我们在直线L上取一点P0（x0，y0），则     n*P0+c = 0

    则

                                                 c = n*P0                                           (1.4)

    将（1.4）代回到（1.3）中得到 （1.5），即

                                                 n*i–n*P0 = 0                                     (1.5)

    进一步化简

                                                 n*（i – P0）=0     

     则 n  与（i-P0）正交（n与（i-P0）均是向量，此时n是二维的，i、P0都是二维坐标）

     即

     n 是过P0(X0,Y0)该直线的法向量,如下图所示

   3. N维空间超平面的理解

       这时候回头看第一节描述的超平面定义

      给定向量空间Rn中的一个点P和一个非零向量n，满足

                                                         n*（i – P）=0

      这里的n  就是w^T,点集i =（x,y）就是x，b就是n*P,  P是直线L上的一点（ 向量n为通过超平面的法向量)

      人话说：给定向量空间Rn中的一点P和一个非零向量n,满足

                                                           n*（i – p） = 0

   则称 点集i 为通过P 的超平面，向量n为通过超平面的法向量

   4. 计算样本空间任意点到超平面的距离

             样本空间中任意一点 x 到超平面的（w,b）的距离

证明：   假设x`是 超平面上 任意一点

             则满足

                                                          wt*x` + b  =0

             则

                                                          b = –wt*x`

             则 

                                                         wt*x – wt*x` = 0

             则

                                                         wt*（x-x`） = 0

            存在平面外一点x，则

           由下图可知，wt和（x-x`）都是矢量，则两者数量积/wt的模等于

          （x-x`）投影在wt上的长度，即 平面外x到 超平面的距离。

5. 判断超平面的正反

         一个超平面可以将它所在的空间分成两半，它的法向量指向的那一半的一面是它的正面，另一面是它的反面。

如果利用数学来判断的话，就用到法向量w。

        如将距离公式中的分子绝对值去掉，则它可以为正或负，则它的值离原点越远，代表点离平面距离越远。

反之，越近。

时间：2021-0107