极大似然估计

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在机器学习和深度学习里，极大似然估计是一个基础算法，这篇文章主要记录一下极大似然估计作用和原理

例

现在我们抛一枚特制的硬币，假设他正面朝上的概率是θ，显然这是一个二项分布，反面额概率就是1-θ，用公式表示如下

 他的概率函数：

拆开写就是

似然函数：

假设投了5次硬币，结果是10011(3正2反)，假设我们不知道硬币正面朝上概率θ的值，通过观察实验结果，我们可以反推θ的值，注意在这里θ是未知

我们将θ作为未知数，将出现3正2反的概率表示出来，即

 这就是似然函数的形式

二项分布的似然函数如下

 这里将P替换成了L(θ)，拿这个例子来说，就是出现3正2反的概率其实是一个函数，根据正面朝上的概率θ值的变化，出现3正2反这一情况的概率也会随之变化，但是3正2反这一情况已经发生了，所以要想从结果反推参数，我们认为L(θ)是最大值，即3正2反这种结果发生的可能性最大时，θ的值应该取多少，也就变成了函数求极值问题，当函数取最大值的时候，极值点导数为0，因此我们可以将似然函数对θ求导，令导数为0求得θ的值。

但是此处有一个问题，极大似然估计是求似然函数的最大值情况，但是似然函数如果是凹函数呢？

极大似然估计

来求参数θ的值

为什么取似然函数的最大值，上面已经解释过了

为了方便计算，我们将max L(θ)等价于

 为什么要这么做？为了方便计算，连乘经过对数函数会变成连加，同时概率是固定小于1的，很多个小于1的数连乘会使计算机产生下溢出，因此取对数操作

对极大似然函数求导

 令导数为0

 当硬币正面向上的概率P=θ hat时，例子中3正2反的情况出现的概率最大，因此当3正2反出现概率最大时，此时概率P最有可能的值就是θ hat

作用：

对于模型y=f(x|θ)，输入x，输出y，参数θ

x表示样本，y表示结果，那么在参数为什么值的情况下观察出x映射y的可能性最大呢，也就是有了x->y的结果，θ最有可能的值。

通过极大似然估计去最大化似然函数，求出想要的参数θ

给定事实–>反推参数（条件）====>在这些参数（条件）下，事件发生（模型取得预期结果）概率最大

跟梯度下降算法的一些想法

我认为极大似然估计是直接求出参数值，像丢硬币实验这种简单模型可以直接使用，梯度下降则是先初始化所有参数，然后从一个随机点开始进行优化

复杂模型参数多，不能直接求所有参数准确值，因此需要先初始化然后再进行优化

似然函数的最大化可以转换成：

max L(θ)==>min (y-y^)

也就是说dl中的损失函数是可以通过极大似然估计来构建的

反向求导这个优化过程就是梯度下降算法和极大似然估计推出的y-y^=0最有可能的模型参数

其他概率分布的极大似然估计也一样，都是求他们概率密度函数连乘的最大值

以正态分布为例：

 列出似然函数（概率密度函数连乘）

求似然函数最大值

求似然函数导数，令导数值为0

求出最优参数