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　　 线积分或路径积分是积分的一种。在数学中，线积分的积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。在物理学上，线积分是质点在外力作用下运动一段距离后总功。

线积分

　　在物理学上，力所做的功等于力与位移的乘积；更严格地说，力在足够小的距离上做的功等于力的向量与位移向量的点积：

　　功描述是需要多少能量才能使质点以这样的方式运动。

　　如果外力不是恒力，要算出外力所做的总功，就是把运动轨迹分成无限小段，然后把外力对每一小段所做的功（也就是力的向量和距离的向量的点积）加起来，其本质上就是积分。

　　假设C是外力作用下运动的轨迹，那么外力在该轨迹上做的总功：

　　然而这种方式不利于计算，因为无法对向量进行积分。现在将位移变成瞬时速度和微小时间的乘积：

　　这表示在每个微小的时间段内，质点移动了微小的距离。W可以解释为从t₁到t₂时间内，质点在外力的作用下移动了一段距离，在这段距离上力所做的总功：

　　这种方式将无法计算的向量积分变成了可计算的非向量积分。

向量场中的线积分

　　已知外力和外力作用下的运动轨迹，力场F = -yi + xj，运动轨迹C：x = t, y = t²,  0 ≤ t ≤ 1，计算力在该轨迹上做的功。

　　在这里，F是外力，C是在F作用下的运动轨迹，由运动轨迹的参数方程可知，y = x²，这相当于在外力F的作用下运行了一段抛物线：

　　上图中红色向量就是在外力F作用下运动的轨迹C，为了理解方便，将t看成时间（可参考《线性代数笔记6——直线和曲线的参数方程》）。F在C上的总功：

　　另一种方式理解，F和r都有两个分量：

　　这里存在两个变量，但是单变量积分无法对两个变量做积分，所以需要用另外一个变量t替换x和y：

　　需要注意的是，线积分只取决与轨迹C，而不是如何参数化，我们可以保留任何一个参数，对于本例来说，y = x²，可以去掉变量y：

几何法计算线积分

　　再来看一下几何方法：

　　如上图所示，曲线是质点运动的轨迹，Δr是在外力F = Mi + Nj作用下移动的微小距离，它是一个向量，与曲线相切；T是Δr方向的单位向量；ΔS是轨迹上对应的弧长，是一个标量。

　　如果是瞬时速度，相当于位移关于时间的微分：

　　外力在轨迹上C上做的总功：

　　F与T的点积是标量，这就将不能积分的dr转换成了可积的ds。

示例1

　　几何法对某些问题的处理会更简单：质点在力场F = xi + yj中沿以原点为圆心，a为半径的圆做逆时针圆周运动，对于圆上的任一点，都存在T⊥F：

　　如果用参数方程处理，对于圆来说x² + y² = a²，可以用θ替换x和y：

示例2

　　如果力场变为F = -yi + xj，则在轨迹上的任意点，F平行于T：

　　C是沿着圆的运动轨迹，ds是轨迹上微小的弧长，所以弧长的积分等于轨迹长度len(C)。如果运动一周：

综合示例

示例1

　　在向量场F = <xy, x² + y²>中，计算线积分∫_cFdr

　　a)

　　b)

　　a)

　　根据轨迹参数化：

　　b)

　　C₁轨迹上，x = 1不变，dx=0，1 ≤ y ≤ 4：

　　C₂轨迹上，y = 4不变，dy=0，1 ≤ x ≤ 2：

示例2

　　在向量场F = <xy, x² + y²>中，C的轨迹函数是y = x²，从(1,1)到(2,4)。用两种参数方程计算线积分∫_cFdr，1) x = t，y = t²  2) x = e^t，y = e^2t

　　1)

　　2)

示例3

　　如下图所示，在向量场F = yi + xj中，质点移动的轨迹是C₁→C₂→C₃，三段轨迹围成了闭合的扇形，扇形的半径是1，弧度是 π/4，求力场中对质点的总功。

　　C₁的轨迹在x轴，从(0,0) 到 (1,0)，y = 0保持不变：

　　C₂的轨迹在是单位圆的一段弧长，可以参数化x,y参数：

　　C₃的轨迹从(2^1/2/2, 2^1/2/2)到(0,0)，将其看作t时间内的位移，参数化后：

　　在这里我们注意到x = y，所以可以进一步参数化：

　　因为质点是从(2^1/2/2, 2^1/2/2)到(0,0)，所以参数替换后的积分域的上限是0，下限是2^1/2

　　在力场中的移动所做的总功为0，从图中看，就是从起点出发，最终回到了起点。

  　　作者：我是8位的

  　　出处：多变量微积分笔记13——线积分

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