传输线基本理论

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1.传输线的集总电路模型

取一段无线小长\(\Delta\)z

从基尔霍夫电压和基尔霍夫电流推到出微分方程

对于简谐稳态条件，具有余弦型的向量形式，可以简化为

联立求解上述电报方程可得传输线上的波方程

2. 无耗传输线

低耗传输线的传播常数和特征阻抗可以认为线是无耗的而得到的很好第近似。

无耗传输线中传播常数β为

相速是

波阻抗

注意：传播常数、波阻抗与无耗媒质中的平面波是相同的。

3.特性阻抗

瞬态阻抗：传输线不均匀
特性阻抗：传输线均匀
对于无耗传输线特性阻抗，可以用单位长度电感和电容表示

3.1影响特性阻抗的因素

• 线宽的影响
  线宽对电感的影响：矩形走线的自感可近似表示为
  
  \(l\)是走线长度，\(w\)是走线宽度，\(t\)是铜箔厚度。当\(l>>w+t\)时，电感大小主要由\(ln(\frac{2l}{w+t})\)决定，线宽越大电感越小（线宽越大，电流越分散，电感越小）。

线宽对电容的影响：线宽越大，走线和平面之间的电力线越多的集中在介质区域，单位长度电容越大。

介质厚度的影响

介质厚度增加时，两个导体间距增加，互感减小，单位长度电感增加，电容减小。因此介质厚度增大会增大介电常数。

介电常数的影响

单位长度电感与介电常数无关，另外根据平板电容特性，介电常数越大，单位长度电容越大。因此介电常数越大，特性阻抗越小

铜箔厚度的影响

铜箔的厚度会影响走线的电感和电容。当\(l>>w+t\)时，电感大小主要由\(ln(\frac{2l}{w+t})\)决定，越厚，电感越小；而当厚度增大时，由于边缘场效应，电容增大。因此铜箔越厚，阻抗越小。

4. 端接负载的传输线

电压反射系数\(\Gamma\)：

回波损耗(return loss, RL)：但负载失配时，不是所有来自源的功率都传给了负载

若负载与线是匹配的，则\(\Gamma\)=0,而且线上电压幅值为常数。然而，当负载失配时，反射波的存在会导致驻波，这时线上的电压幅值不是常数，会沿线起伏。

驻波比：可以定义为：

传输线的阻抗方程：

4.1 无耗传输线的特殊情况

传输线模型如图所示

• 当传输线的一端是短路的，即\(Z_L=0\)，此时\(\Gamma\)=-1，在负载处，V=0，而电流是极大值。
• 当为开路线时，\(\Gamma\)=1，在负载处，电压取极大值，而电流为0

现考虑一些特定长度的线

• 若线的长度是\(\lambda\)/2的整数倍，\(Z_{in}=Z_L\)，则线不改变负载阻抗。
• 若线的长度是\(\lambda\)/4或者l=\(\lambda\)/4+n\(\lambda\)/2（四分之一波长变换器），它讲以倒数的形式变换负载阻抗，当然也依赖于特性阻抗，其输入阻抗为

插入损耗：一特征阻抗为Z₀的传输线馈接到具有不同特征阻抗的\(Z_1\)的传输线上，若负载无线长（或接到它自身的特征阻抗线上）,则没有反射来自其终端。透射系数为：

两点间的插入损耗(IL, insertion loss)为

4.2 四分之一波长变换器

若负载电阻\(R_L\)和馈线特征阻抗\(Z_0\)都是实数并假定已知，为了使反射系数为0，则有\(Z_{in}=Z_0\)，特性阻抗\(Z_1\)为

他是负载与源阻抗的几何平均。因而在馈线上没有驻波，然而在\(\lambda\)/4匹配段内会有驻波存在。

备注：上述条件匹配段的长度为四分之一波长或其奇数倍，因此只能存在一个频点上获得完全的匹配，其他频率上将会失配。

5. Smith圆图

阻抗圆图的特点

• 圆图中心为匹配点；实轴上的所有点（除两端外）表示纯归一化电阻，这是因为当x=0时，等x圆的半径为\(\infty\)，等x圆退化为实轴；实轴左端点对应\(\Gamma\)=-1,z=0是短路点；实轴右端点对应\(\Gamma\)=1,z=\(\infty\)，是开路点。
• 圆图的单位圆对应于\(\Gamma\)=1,r=0,z=jx，故该圆是纯归一化电抗圆。实轴以上半圆的等x圆曲线对应x>0，故上半圆中各点代表各种不同数值的感性复阻抗的归一化值；实轴以下的等x圆曲线对应x<0，故下半圆中各点代表不同数值的容性复阻抗的归一化值。
• 圆图的右半轴上的点对应于传输线上电压的同相位点，故是电压的波腹点，r的值即为电压驻波系数\(\rho\)的值；左半实轴上的点对应于传输线上电压的波节点，r的值即为行波系数K的值。
• 圆外刻度按顺时针方向增加，表示向波源方向；圈内刻度按逆时针方向增加，表示向负载方向。（这是因为以规定z=0为传输线的负载端，z的正向是负载指向波源。随着z等增加，相应与传输线上的点向波源方向移动，发射系数的幅角随之减小，在圆图上应顺时针方向旋转。）