对称群的表示

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最近回顾了一下对称群的表示。下面记$X$的对称群$\mathfrak{S}_X=\{X\stackrel{f}\to X:\textrm{$f$是双射}\}$，并记$\mathfrak{S}_n=\mathfrak{S}_{\{1,\ldots,n\}}$。

熟知以下结果

• $\mathfrak{S}_n$共轭类由置换的『型』分类，具体来说是$n$的分拆$\mu:\mu_1\geq \ldots \geq \mu_k$使得$\mu_1+\ldots+\mu_k=n$，『型』为$\mu$的元素形如$$(a_1\ldots a_{\mu_1})(b_1\ldots )\ldots (c_1\ldots c_{\mu_k})$$而共轭作用体现在轮换上是$$\sigma(a\,b\,\ldots\,c)\sigma^{-1}=(\sigma(a)\,\sigma(b)\,\ldots\,\sigma(c))$$
• $\mathfrak{S}_n$的一维表示只有平凡表示和$\sgn$。
• 每一个分拆$\mu:\mu_1\geq \ldots \geq \mu_k$都对应一个Young图，从上至下第$i$行从左排列$\mu_k$个方格。而给这$n$个方格填入$1$到$n$后被称为Young表。

以下证明是我自己改写的，或许比很多常见证明简洁很多，不过没有本质的不同。

下面我们开始建立对称群的表示论。下面固定$n$，以及特征不整除$n ! $的域$k$，即特征大于$n$或特征为$0$。

定义（Young表）给一个Young图$n$个方格填入$1$到$n$后被称为Young表，原本的Young图被称为Young表的型。显然$\mathfrak{S}_n$自然地作用在同型的Young表上。

定义（行群，列群）对于Young表$t$，定义行群和列群$$R_t=\{\sigma\in \mathfrak{S}_n: \textrm{$\sigma$保持每行元素不变}\}\qquad C_t=\{\sigma\in \mathfrak{S}_n: \textrm{$\sigma$保持每列元素不变}\}$$并且定义行和与列交错和$$r_t=\sum_{\sigma\in R_t} \sigma \qquad c_t=\sum_{\sigma\in C_t}\sgn(\sigma) \sigma$$

我们采取的方法是直接从群环直接构造出不可约模，间接但是便于把握的方法可见李文威的讲义 Yanqi Lake Lectures on Algebra Part I 。证明的关键是如下的性质。

命题 关于行群与列群，有如下的结论

• $\sigma R_t\sigma^{-1}=R_{\sigma t}$，并且$\sigma\in R_{t}$时，$R_t=R_{\sigma t}$。
• $\sigma C_t\sigma^{-1}=C_{\sigma t}$，并且$\sigma\in C_{t}$时，$C_t=C_{\sigma t}$。
• （行列关系）如果$t,s$是同型的Young表，那么下列两情况必居且仅居其一$$C_t\cap R_s \textrm{含对换}\qquad C_t t\cap R_s s \neq \varnothing$$
• （比较定理）如果按照字典序$t$的型严格小于$s$的型，那么$$C_t\cap R_s\textrm{含对换}$$

证明 前两条是显然的。『行列关系』注意到不含对换当且仅当『$s$同一行的不同元素在$t$中在不同列』。而这一条件说明可以变换对$t$作$C_t$变换，对$s$作$R_s$变换化成同一个Young表，具体来说先将$t$的第一行所有元素变成$s$第一行的所有元素，然后再变动第二行以下的行，以此类推，每次不会变动已经完成的行，最终和$s$每行元素都相同。反之亦然。为了看到『比较定理』，假设在第$i$行$t$的元素开始少于$s$的元素，注意到根据前两条，和类似『行列关系』的算法，可以假设$s,t$前$i-1$行都相同，这样，$s$第$i$行必定有元素落在$t$的同一行。$\square$

命题 关于行和与列交错和，有如下的结论

• $\sigma r_t\sigma^{-1}=r_{\sigma} t$，并且$\sigma\in R_t$时，$\sigma r_t = r_t\sigma =r_t$，从而$r_{\sigma t}=r_t$。
• $\sigma c_t\sigma^{-1}=c_{\sigma} t$，并且$\sigma\in C_t$时，$\sigma c_t=c_t\sigma=\sgn(\sigma)c_t$，从而$c_{\sigma t}=c_t$。
• （行列关系）如果$t,s$是同型的Young表，则$$C_t\cap R_s \textrm{含对换}\iff c_tr_s=0$$
• （比较定理）如果按照字典序$t$的型严格小于$s$的型，那么$$c_tr_s=0$$

证明 前两条同样是显然的。根据上一个命题，在前一种情况，可以直接计算$c_t r_s=c_t(\textrm{对换}) r_s=-c_tr_s$，故$c_tr_s=0$，在后一种情况，存在$c\in C_t, r\in R_s$使得$ct=rs$，故$c_tr_s=c_{ct}r_{rs}=c_{rs}r_{rs}$，故只要说明对任意Young表$t$，$c_{t}r_t\neq 0$即可，考虑常数项即可。『比较定理』则是类似的。$\square$ 

比较定理还可以放松字典序的条件，只需要存在$i$使得$t$前$i$行方格数加起来不超过$s$前$i$行方格数加起来，这样算法需要修改成将$t$第一行放置在$s$行数尽可能小的数，具体细节留给读者。好在字典序已然够用。有了上述准备工作，我们下面开始最终定理的陈述。

定义 对每个Young图$t$，定义$e_t=c_tr_t$。

定理 $\mathfrak{S}_n$的所有不可约表示都同构于$k[\mathfrak{S}_n]e_t$，同构当且仅当型相同。

为此我们需要一个技术化的引理。

引理 对于任意$x\in \mathfrak{S}_n$，

• （行列关系）$c_txr_t\in k\cdot c_tr_t=k\cdot e_t$。
• （比较定理）如果按照字典序$t$的型严格小于$s$的型，那么$c_txr_s=0$。

证明 『行列关系』注意到$c_txr_t=c_tr_{xt}x$，如果$c_tr_{xt}=0$，那么已经完成证明，否则根据上面的命题，$C_tt\cap R_{xt}(xt)=C_tt\cap xR_{t}x^{-1} (xt)\neq \varnothing$，这样$x\in C_tR_t$，这样$x$被两边吸收得证。『比较定理』证明同样，不过更加简单。$\square$

推论 对于任意$x\in \mathfrak{S}_n$，

• （行列关系）$e_txe_t\in k\cdot e_t$。
• （比较定理）如果按照字典序$t$的型严格不等于$s$的型，那么$e_txe_s=0$。

证明 显然。$\square$

下面我们开始证明。

证明 证明分几步。

• $k[\mathfrak{S}_n]e_t$是不可约表示。这是因为任何非零子模$M$（是$k[\mathfrak{S}_n]$的左理想），根据推论『行列关系』$e_t M\subseteq k\cdot e_t$，如果$e_tM = k\cdot e_t$，那么$e_t\in M$故$M=k[\mathfrak{S}_n]e_t$。如果$e_tM=0$，这说明$M\cdot M= 0$，但是根据Maschke定理，$M$是$k[\mathfrak{S}_n]$的直和项，内含幂等元，这是不可能的。
• 同型的$t,s$对应的$k[\mathfrak{S}_n]e_t$和$k[\mathfrak{S}_n]e_s$是同构的。显然，二者仅仅相差一个共轭。
• 不同型的$t,s$对应的$k[\mathfrak{S}_n]e_t$和$k[\mathfrak{S}_n]e_s$不是同构的。根据上面推论的『比较定理』$e_t[\mathfrak{S}_n]e_s=0$，但和第一段相同的理由$e_t[\mathfrak{S}_n]e_t\neq 0$。
• $k[\mathfrak{S}_n]e_t$给出所有不可约表示。因为特征的理论，不可约表示的数目小于等于共轭类数目，熟知Young图数目和分拆数相等，$\mathfrak{S}_n$的共轭类和分拆数也相等。

 命题得证。$\square$

以上结果还说明任何特征不整除$n !$的域$k$都是$\mathfrak{S}_n$的分裂域（即Schur引理所断言的除环均是自身）。

最后需要指出，对称群表示的话题远没有结束，我们还没有计算出维数特征以及和Young图的联系，更具体的讨论可见Fulton & Harris Representation Theory  A First Course。