对称群的表示

对称群的表示最近回顾了一下对称群的表示。下面记$X$的对称群$\mathfrak{S}_X=\{X\stackrel{f}\toX:\textrm{$f$是双射}\}$,并记$\mathfrak{S}_n=\mathfrak{S}_{\{1,\ldots,n\}}$。熟知以下结果$\mathfrak{S}

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最近回顾了一下对称群的表示。下面记$X$的对称群$\mathfrak{S}_X=\{X\stackrel{f}\to X:\textrm{$f$是双射}\}$,并记$\mathfrak{S}_n=\mathfrak{S}_{\{1,\ldots,n\}}$。

熟知以下结果

  • $\mathfrak{S}_n$共轭类由置换的『型』分类,具体来说是$n$的分拆$\mu:\mu_1\geq \ldots \geq \mu_k$使得$\mu_1+\ldots+\mu_k=n$,『型』为$\mu$的元素形如$$(a_1\ldots a_{\mu_1})(b_1\ldots )\ldots (c_1\ldots c_{\mu_k})$$而共轭作用体现在轮换上是$$\sigma(a\,b\,\ldots\,c)\sigma^{-1}=(\sigma(a)\,\sigma(b)\,\ldots\,\sigma(c))$$
  • $\mathfrak{S}_n$的一维表示只有平凡表示和$\sgn$。
  • 每一个分拆$\mu:\mu_1\geq \ldots \geq \mu_k$都对应一个Young图,从上至下第$i$行从左排列$\mu_k$个方格。而给这$n$个方格填入$1$到$n$后被称为Young表。

以下证明是我自己改写的,或许比很多常见证明简洁很多,不过没有本质的不同。

下面我们开始建立对称群的表示论。下面固定$n$,以及特征不整除$n ! $的域$k$,即特征大于$n$或特征为$0$。

定义(Young表)给一个Young图$n$个方格填入$1$到$n$后被称为Young表,原本的Young图被称为Young表的型。显然$\mathfrak{S}_n$自然地作用在同型的Young表上。

定义(行群,列群)对于Young表$t$,定义行群列群$$R_t=\{\sigma\in \mathfrak{S}_n: \textrm{$\sigma$保持每行元素不变}\}\qquad C_t=\{\sigma\in \mathfrak{S}_n: \textrm{$\sigma$保持每列元素不变}\}$$并且定义行和列交错和$$r_t=\sum_{\sigma\in R_t} \sigma \qquad c_t=\sum_{\sigma\in C_t}\sgn(\sigma) \sigma$$

我们采取的方法是直接从群环直接构造出不可约模,间接但是便于把握的方法可见李文威的讲义 Yanqi Lake Lectures on Algebra Part I 。证明的关键是如下的性质。

命题 关于行群与列群,有如下的结论

  • $\sigma R_t\sigma^{-1}=R_{\sigma t}$,并且$\sigma\in R_{t}$时,$R_t=R_{\sigma t}$。
  • $\sigma C_t\sigma^{-1}=C_{\sigma t}$,并且$\sigma\in C_{t}$时,$C_t=C_{\sigma t}$。
  • (行列关系)如果$t,s$是同型的Young表,那么下列两情况必居且仅居其一$$C_t\cap R_s \textrm{含对换}\qquad C_t t\cap R_s s \neq \varnothing$$
  • (比较定理)如果按照字典序$t$的型严格小于$s$的型,那么$$C_t\cap R_s\textrm{含对换}$$

证明 前两条是显然的。行列关系注意到不含对换当且仅当『$s$同一行的不同元素在$t$中在不同列』。而这一条件说明可以变换对$t$作$C_t$变换,对$s$作$R_s$变换化成同一个Young表,具体来说先将$t$的第一行所有元素变成$s$第一行的所有元素,然后再变动第二行以下的行,以此类推,每次不会变动已经完成的行,最终和$s$每行元素都相同。反之亦然。为了看到比较定理假设在第$i$行$t$的元素开始少于$s$的元素,注意到根据前两条,和类似行列关系』的算法,可以假设$s,t$前$i-1$行都相同,这样,$s$第$i$行必定有元素落在$t$的同一行。$\square$

命题 关于行和与列交错和,有如下的结论

  • $\sigma r_t\sigma^{-1}=r_{\sigma} t$,并且$\sigma\in R_t$时,$\sigma r_t = r_t\sigma =r_t$,从而$r_{\sigma t}=r_t$。
  • $\sigma c_t\sigma^{-1}=c_{\sigma} t$,并且$\sigma\in C_t$时,$\sigma c_t=c_t\sigma=\sgn(\sigma)c_t$,从而$c_{\sigma t}=c_t$。
  • (行列关系)如果$t,s$是同型的Young表,则$$C_t\cap R_s \textrm{含对换}\iff c_tr_s=0$$
  • (比较定理)如果按照字典序$t$的型严格小于$s$的型,那么$$c_tr_s=0$$

证明 前两条同样是显然的。根据上一个命题,在前一种情况,可以直接计算$c_t r_s=c_t(\textrm{对换}) r_s=-c_tr_s$,故$c_tr_s=0$,在后一种情况,存在$c\in C_t, r\in R_s$使得$ct=rs$,故$c_tr_s=c_{ct}r_{rs}=c_{rs}r_{rs}$,故只要说明对任意Young表$t$,$c_{t}r_t\neq 0$即可,考虑常数项即可。『比较定理』则是类似的。$\square$ 

比较定理还可以放松字典序的条件,只需要存在$i$使得$t$前$i$行方格数加起来不超过$s$前$i$行方格数加起来,这样算法需要修改成将$t$第一行放置在$s$行数尽可能小的数,具体细节留给读者。好在字典序已然够用。有了上述准备工作,我们下面开始最终定理的陈述。

定义 对每个Young图$t$,定义$e_t=c_tr_t$。

定理 $\mathfrak{S}_n$的所有不可约表示都同构于$k[\mathfrak{S}_n]e_t$,同构当且仅当型相同。

为此我们需要一个技术化的引理。

引理 对于任意$x\in \mathfrak{S}_n$,

  • (行列关系)$c_txr_t\in k\cdot c_tr_t=k\cdot e_t$。
  • (比较定理)如果按照字典序$t$的型严格小于$s$的型,那么$c_txr_s=0$。

证明 『行列关系』注意到$c_txr_t=c_tr_{xt}x$,如果$c_tr_{xt}=0$,那么已经完成证明,否则根据上面的命题,$C_tt\cap R_{xt}(xt)=C_tt\cap xR_{t}x^{-1} (xt)\neq \varnothing$,这样$x\in C_tR_t$,这样$x$被两边吸收得证。『比较定理』证明同样,不过更加简单。$\square$

推论 对于任意$x\in \mathfrak{S}_n$,

  • (行列关系)$e_txe_t\in k\cdot e_t$。
  • (比较定理)如果按照字典序$t$的型严格不等于$s$的型,那么$e_txe_s=0$。

证明 显然。$\square$

下面我们开始证明。

证明 证明分几步。

  • $k[\mathfrak{S}_n]e_t$是不可约表示。这是因为任何非零子模$M$(是$k[\mathfrak{S}_n]$的左理想),根据推论『行列关系』$e_t M\subseteq k\cdot e_t$,如果$e_tM = k\cdot e_t$,那么$e_t\in M$故$M=k[\mathfrak{S}_n]e_t$。如果$e_tM=0$,这说明$M\cdot M= 0$,但是根据Maschke定理,$M$是$k[\mathfrak{S}_n]$的直和项,内含幂等元,这是不可能的。
  • 同型的$t,s$对应的$k[\mathfrak{S}_n]e_t$和$k[\mathfrak{S}_n]e_s$是同构的。显然,二者仅仅相差一个共轭。
  • 不同型的$t,s$对应的$k[\mathfrak{S}_n]e_t$和$k[\mathfrak{S}_n]e_s$不是同构的。根据上面推论的『比较定理』$e_t[\mathfrak{S}_n]e_s=0$,但和第一段相同的理由$e_t[\mathfrak{S}_n]e_t\neq 0$。
  • $k[\mathfrak{S}_n]e_t$给出所有不可约表示。因为特征的理论,不可约表示的数目小于等于共轭类数目,熟知Young图数目和分拆数相等,$\mathfrak{S}_n$的共轭类和分拆数也相等。

 命题得证。$\square$

以上结果还说明任何特征不整除$n !$的域$k$都是$\mathfrak{S}_n$的分裂域(即Schur引理所断言的除环均是自身)。

最后需要指出,对称群表示的话题远没有结束,我们还没有计算出维数特征以及和Young图的联系,更具体的讨论可见Fulton & Harris Representation Theory  A First Course

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