大家好，欢迎来到IT知识分享网。
指数函数和三角函数相乘的函数的积分
在复习随机信号处理课程，做第三章《随机信号经过线性系统》的习题时，发现很多习题都需要求三角函数和指数函数乘积的积分，下面用三种方法来求类似积分。
问题描述：求\(S_1=\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx,S_2=\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx\)
方法1：(欧拉公式)
\[\begin{equation} \begin{aligned} S_1&=\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx=\frac{1}{2i}\int e^{nx}(e^{imx}-e^{-imx})dx\\ &=\frac{1}{2i} [\int e^{(n+im)x}-e^{(n-im)x}dx]=\frac{1}{2i}[\frac{1}{n+im}e^{(n+im)x}-\frac{1}{n-im}e^{(n-im)x}]\\ &=\frac{1}{2i}\lbrace \frac{1}{n+im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)+i{\rm sin}(mx)]-\frac{1}{n-im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)-i{\rm sin}(mx)]\rbrace\\ &=\frac{1}{2i}\lbrace (\frac{1}{n+im}-\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm cos}(mx)+i(\frac{1}{n+im}+\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm sin}(mx)\rbrace\\ &=\frac{1}{n^2+m^2}[ne^{nx}{\rm sin}(mx)-me^{nx}{\rm cos}(mx)]\\ &=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})’ & e^{nx}\\ [{\rm sin}(mx)]’ & {\rm sin}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2} \end{aligned} \end{equation}\tag{1} \]
\[\begin{equation} \begin{aligned} S_2&=\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx=\frac{1}{2}\int e^{nx}(e^{imx}+e^{-imx})dx\\ &=\frac{1}{2} [\int e^{(n+im)x}+e^{(n-im)x}dx]=\frac{1}{2}[\frac{1}{n+im}e^{(n+im)x}+\frac{1}{n-im}e^{(n-im)x}]\\ &=\frac{1}{2}\lbrace \frac{1}{n+im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)+i{\rm sin}(mx)]+\frac{1}{n-im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)-i{\rm sin}(mx)]\rbrace\\ &=\frac{1}{2}\lbrace (\frac{1}{n+im}+\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm cos}(mx)+i(\frac{1}{n+im}-\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm sin}(mx)\rbrace\\ &=\frac{1}{n^2+m^2}[ne^{nx}{\rm cos}(mx)+me^{nx}{\rm sin}(mx)]\\ &=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})’ & e^{nx}\\ [{\rm cos}(mx)]’ & {\rm cos}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2} \end{aligned} \end{equation}\tag{2} \]
方法2：代数求解
由
\[\begin{equation} \begin{aligned} \lbrace e^{nx}{\rm sin}(mx)\rbrace ‘&=ne^{nx}{\rm sin}(mx)+me^{nx}{\rm cos}(mx)\\ \lbrace e^{nx}{\rm cos}(mx)\rbrace ‘&=ne^{nx}{\rm cos}(mx)-me^{nx}{\rm sin}(mx) \end{aligned} \end{equation}\tag{3} \]
对上式左右两边同时对\(x\)积分，可以得到
\[\begin{equation} \begin{aligned} e^{nx}{\rm sin}(mx)&=n\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx+m\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx=nS_1+mS_2\\ e^{nx}{\rm cos}(mx)&=n\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx-m\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx=nS_2-mS_1 \end{aligned} \end{equation}\tag{4} \]
联立(4)可以求解得到
\[\begin{equation} \begin{aligned} S_1&=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})’ & e^{nx}\\ [{\rm sin}(mx)]’ & {\rm sin}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}\\ S_2&=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})’ & e^{nx}\\ [{\rm cos}(mx)]’ & {\rm cos}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2} \end{aligned} \end{equation}\tag{5} \]
方法3：分部积分直接求解
\[\begin{equation} \begin{aligned} S_1&=\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx=\frac{1}{n}\int {\rm sin}(mx)d(e^{nx})\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{1}{n}\int e^{nx}d[{\rm sin}(mx)]\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n}\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}\int {\rm cos}(mx)d(e^{nx})\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}{\rm cos}(mx)e^{nx}+\frac{m}{n^2}\int e^{nx}d[{\rm cos}(mx)]\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}{\rm cos}(mx)e^{nx}-\frac{m^2}{n^2}\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}{\rm cos}(mx)e^{nx}-\frac{m^2}{n^2}S_1 \end{aligned} \end{equation}\tag{6} \]
从(6)可以得出\(S_1=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})’ & e^{nx}\\ [{\rm sin}(mx)]’ & {\rm sin}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}\)，同理可以求得\(S_2=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})’ & e^{nx}\\ [{\rm cos}(mx)]’ & {\rm cos}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}\)。
需要注意的是，在上面的积分求解过程中均省略了常数。
免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://yundeesoft.com/31822.html
