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正项级数与数列

2018.05.20

正项级数\(\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\)与数列$\left{ \left( 1+a_1 \right) \left( 1+a_2 \right) \cdots \left( 1+a_n \right) \right} $同敛态。

\(solution:\)

易知$\left{ \left( 1+a_1 \right) \left( 1+a_2 \right) \cdots \left( 1+a_n \right) \right} \(与\)\sum_{n=1}^{\infty}{\ln \left( 1+a_n \right)}\(同敛态，故只需讨论\)\sum_{n=1}^{\infty}{\ln \left( 1+a_n \right)}\(与\)\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$的收敛性。

\(1^{\circ}\ a_n\rightarrow 0\left( n\rightarrow \infty \right) ,\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln \left( 1+a_n \right)}{a_n}=1,\)故正项级数\(\sum_{n=1}^{\infty}{\ln \left( 1+a_n \right)}\)与\(\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\)同敛态。

\(2^{\circ}\ a_n\nrightarrow 0\left( n\rightarrow \infty \right) ,\ln \left( 1+a_n \right) \nrightarrow 0\left( n\rightarrow \infty \right) ,\)故正项级数\(\sum_{n=1}^{\infty}{\ln \left( 1+a_n \right)}\)与\(\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}\)发散。

利用此结论可得，\(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{\left( 1+a_1 \right) \left( 1+a_2 \right) \cdots \left( 1+a_n \right)}=0\)（裂项法亦可证明）.