【算法分析】递归算法的几个经典例子

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例一：整数划分问题　　

　　将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。

例如：正整数6有如下11种不同的划分：

6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1

在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。

下面对可能出现的四种情况进行分析：

① m=1：

　　当m等于1时，对n的划分只可能1+1+1+……+1这一种情况。

②m>n时：

　　当m大于n时，由于划分中不可能出现负数，所以{n1, n2, n2,… , nk}（n = n1+n2+n3+……+nk）只可能出现小于等于n的整数。故有q(n, m)=q(n, n)

⑤m=n时：

　　当m等于n时，包含n自身的划分和没有n的划分两个部分。而包含n自身的划分只有一种情况，故有有q(n, n)=1+q(n,n-1)

④m<n时：

　　n的m划分有包含m和不包含m两个部分。其中包含m的部分用集合可表示为{m, {x1, x2, x3, 4,…, xk}}(其中x1+x2+……+xk=n-m)【详解见图1】，这部分的划分数为q(n-m, m)；而不包含m的划分中，最大值不能为m，故划分数就等于q(n, m)。所以在m<n时整数n的划分数为：q(n, m)=q(n, m-1)+q(n-m, m)。

【图1：ipad坏了，一时找不到纸，后面再补吧。。】

递归求整数划分：
 1 int q(int n, int m){
 2     if(m==1){
 3         return 1;
 4     }
 5     else if(m>n){
 6         return q(n,n);
 7     }
 8     else if(m==n){
 9         return q(n,n-1)+1;
10     }
11     else if(m<n){
12         return q(n-m, m)+q(n,m-1);
13     }
14 }