从台体的体积公式谈起前些天做到一个猜圆台体两端电阻阻值公式的题，刚想积分乱搞时突然想起——台体不是有体积公式的吗…于是就有下面的内容了。台体本质上是锥体被一个平行与底面的平面所截而形成的几何体，所以可以把锥体补出来再研究。考虑从微积分的角度思考。设台体高度为\(h\)，上、下底面面积分别为\(S_1,S_
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前些天做到一个猜圆台体两端电阻阻值公式的题，刚想积分乱搞时突然想起——台体不是有体积公式的吗…
于是就有下面的内容了。
台体本质上是锥体被一个平行与底面的平面所截而形成的几何体，所以可以把锥体补出来再研究。考虑从微积分的角度思考。设台体高度为 \(h\)，上、下底面面积分别为 \(S_1, S_2\)，上底面到锥体顶点的距离为 \(x\)。锥体的若干底面互相相似，而它们的的“半径”又与它们各自到锥体顶点的距离成正比，因此容易发现底面面积与该距离的平方成正比，即
\[k = \frac{S_1}{x^2} = \frac{S_2}{(x+h)^2} \]
这是在三维空间里的情况。可以类比的写出 \(n\) 维台体的式子：
\[k = \frac{S_1}{x^{n-1}} = \frac{S_2}{(x+h)^{n-1}} \]
（当然这里的 \(S_1,S_2\) 就是“超面积”了）
进一步的，可以将超面积写成关于与顶点距离的函数形式：
\[\begin{aligned} S_1 &= S(x) = k x^{n-1} \\ S_2 &= S(x+h) = k (x+h)^{n-1} \end{aligned} \]
而我们要求的“超体积”，就可以顺理成章的表示为面积函数 \(S(x)\) 在垂直轴线上的积分了
\[V = \int_{x}^{x+h} S(x) \mathrm d x = k \int_{x}^{x+h} x^{n-1} \mathrm d x = \frac k n \left( \left(x+h \right)^n – x^n \right) \]
这就是用微积分求到的台体体积公式。
那么问题来了——这种形式的台体体积公式和几何法得到的
\[V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \]
有什么联系呢？
随便玩一下吧，\(\frac 1 3\) 毋庸置疑和三维有关，换成 \(\frac 1 n\) 就好；后面那一坨挺对称的还蛮好看，写个求和符号让它更好看吧（
于是猜测台体体积公式的 \(n\) 维扩展：
\[V = \frac 1 n h \sum_{i=0}^{n-1} S_1^{\frac{i}{n-1}} S_2^{1-\frac{i}{n-1}} \]
用 \(S(x)\) 函数的形式替换 \(S_1, S_2\)，得
\[V = \frac k h \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \]
哎！与前面积分得出的台体体积公式比较，发现只需证明
\[(x+h)^n – x^n = h \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \]
试着证明一下吧。观察发现 \(h\) 可以拆成 \((x+h)-x\)，故右式可以写成
\[\begin{aligned} h \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} &= ((x+h)-x) \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \\ &= (x+h) \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} – x \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-i} – \sum_{i=1}^{n} x^i (x+h)^{n-i} \\ &= (x+h)^n – x^n \end{aligned} \]
得证。
暂时不知道这个定理有什么具体的名字，知道的大佬请告诉我（
所以这玩意有什么用呢？
首先当然是证明（超）台体体积公式，这个上面已经提到。
还有一个用途就是证明 \(n \in \mathrm{N_+}\) 的幂函数 \(x^n\) 的导数公式。
\[\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n – x^n}{h} = \lim_{h \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} x^i (x+h)^{n-1-i} = n x^{n-1} \]
看上去很方便的来着呢。
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