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共同本征函数

1 不确定度关系的严格证明

引入

• 当体系处于力学量\(\widehat A\)的本征态时，对其测量，可得一个确定值，而不出现涨落。但在其本征态下，去测量另一个力学量\(\widehat B\)时，却不一定得到一个确定值

分析证明

• 设有两个任意的力学量\(\widehat A\)和\(\widehat B\),分析下列积分不等式

  

  • 其中，\(\psi\)为一个体系的任意一个波函数，$\xi $为任意实参数

  • 因为\(\widehat A\)与\(\widehat B\)为厄米算符，所以

    

• 引进厄米算符 ，则

  • \(\overline C\)为实，不妨取 \(\xi=\overline C / 2\overline {A^2}\),则得

    

• 即，或表示为

  \(\overline {{A^2}} \cdot \overline {{B^2}} \ge {1 \over 2}\left| {\overline C } \right| = {1 \over 2}\left| {\overline {\left[ {\widehat A,\widehat B} \right]} } \right|\)（1）

  • 在上式中，\(\widehat A\)与\(\widehat B\)为厄米算符，\(\overline A\)与\(\overline B\)又均为实数，推出$\Delta \widehat A = \widehat A – \overline A \(与\)\Delta \widehat B = \widehat B – \overline B $也是厄米的。
  • 让\(\widehat A →\Delta \widehat A\)，\(\widehat B →\Delta \widehat B\)，则（1）式仍然成立

• 再考虑到（因为\(\overline A\)与\(\overline B\)均为实数)，就可得出

  

• 或简记为$\Delta A \equiv \sqrt {\overline {{A^2}} } \(，\)\Delta B \equiv \sqrt {\overline {{B^2}} } $，有

  

  • 上式就是任意两个力学量A 与B在任意量子态下的涨落必须满足的关系式,即Heisenberg的不确定度关系(uncertainty relation)的普遍表达式。

  • 由（2）式可以看出

    • 若两个力学量A与B不对易，则一般来说\(\Delta A\)与\(\Delta B\)不能同时为零，即\(\widehat A\)与\(\widehat B\)不能同时测定。（但的特殊态可能是例外)，或者说他们不能有共同本征态。
    • 若两个力学量A与B对易，则可以找到这样的态，使\(\Delta A\)与\(\Delta B\)同时为零，即\(\widehat A\)与\(\widehat B\)可以同时测定，或者说他们可以找出它们的共同本征态。

    特例：\(\hat A=x,\hat B=\hat p_x,[x,\hat p_x]=iℏ\)

    ​

  • 例如：坐标r(x,y,z)的共同本征态，即\(\delta\)函数

    

    相应的本征值：

    

2 (\(l^2,l_z\))的共同本征态，球谐函数

角动量的平方算符

• 由于角动量的三个分量不对易，一般无共同本征态。但由于[$l^2,l_\alpha \(]=0,可以找出\)l^2\(与任何一个分量（例如\)l_z$）的共同本征态。

• 采用球坐标，角动量的平方算符表示为

  

求解角动量平方算符本征方程

• 考虑到\([l^2,l_\alpha]=0,l^2\)的本征函数可以同时也取为\(l_z\)的本征态

  

• 此时，\(l^2\)的本征函数已分离变量，即令

• 并代入本征方程

  

  • 其中，$\lambdaℏ^2 \(是\)l^2\(的本征值（\)\lambda$无量纲），待定
  • 化简本征方程，得

  

• 令，则

  

​ 或

​

​ 这就是连带Legendre方程。

• 在\({|\xi|} \le 1\)区域中，微分方程有两个正则奇点，\(\xi=\pm1\),其余各点均为常点。

正则奇点（摘自百度百科）

在线性二阶常微分方程y”+p(x)y’+q(x)y=0的奇点z0的邻域上，方程的两个线性独立解一般来说也是以z0为奇点的，对这两个解在z0邻域上展开（注意不是泰勒展开），全都具有有限个负幂项，则该奇点z0称为方程的正则奇点。

• 可以证明，只当\(\lambda =l(l+1)\),\(l=0,1,2…\)，时，方程有一个多项式解（另一解为无穷级数），即连带Legendre多项式

  

  • 它在\({|\xi|} \le 1\)区域中是有界的，是物理上可接受得解。

• 利用正交归一性公式

  

  • 定义一个归一化得\(\theta\)部分的波函数（实）

    

• 满足

(\(l^2,l_z\))的共同本征态，球谐函数

• (\(l^2,l_z\))的共同本征函数表示为：

• \(Y_{lm}\)为球谐函数，它们满足

  

• 

• 在上面的式子中，\(l^2\)和\(l_z\)的本征值都是量子化的:

  

• 对于给定\(l,l^2\)的本征函数是不确定的,因为m =l,l-1,…,-l+1,-l，共有(2l＋1)个简并态。\(Y_{lm}\)就
  是用\(l_z\)的本征值来确定这些简并态

3 对易力学量完全集（CSCO）

• 设有一组彼此独立而且互相对易得厄米算符\(\hat A\)(\(\hat {A_1}\),\(\hat {A_2}\),…),它们得共同本征态记为\(\psi_\alpha\),\(\alpha\)表示一组完备得量子数。

• 设给定一组量子数α之后,就能够完全确定体系的唯一一个可能状态,则我们称(\(\hat {A_1}\),\(\hat {A_2}\),…)构成体系的一组对易可
  观测量完全集(Complete Set of Commuting Observables,简记为CSCO),在中文教材中,习惯称为对易力学量完全集,或简称为力学量完全集。对易力学量完全集的概念与体系的一个量子态的制备密切相关。

• 按照态叠加原理，体系的任何一个状态\(\psi\)均可用\(\psi_\alpha\)来展开

  

  • 利用\(\psi_\alpha\)的正交归一性，上式中的展开系数\(a_\alpha=(\psi_\alpha,\psi)\)，可确切定出。\({\left| {{a_\alpha }} \right|^2}\)表示在\(\psi\)态下，测量力学量A得到\(A_\alpha\)值的概率。这是波函数的统计诠释的最一般的表述（这里假定量子数α，或力学量\(A_\alpha\),不连续变化）
  • (这里假定量子数α，或力学量A,不连续变化.若α连续变化,则\(\sum\limits_\alpha { \to \int {d\alpha } }\),而相应的展开系数的模方代表概率密度.例如,坐标表象和动量表象的展开,即属此情况.)

• 如体系的Hamilton量不显含时间t(\(\partial H/\partial t = 0\))，则H为守恒量。在此情况下,如对易力学量完全集中包含有体系的Hamilton量，则完全集中各力学量都是守恒量这种完全集又称为对易守恒量完全集( a complete set of commuting conserved observables，简记为 CSCCO)包括H在内的守恒量完全集的共同本征态，当然是定态，所相应的量子数都称为好量子数。在这种展开中，在这种展开中(无论\(\psi\)是什么态，定态或非定态)，\({\left| {{a_\alpha }} \right|^2}\)是不随时间改变的。

• 关于CSCO，再做几点说明:

  • CSCO是限于最小集合，即从集合中抽出任何一个可观测量后,就不再构成体系的CSCO.所以要求CSCO中各观测量是函数独立的.
  • 一个给定体系的CSCO中,可观测量的数目一般等于体系自由度的数目,但也可以大于体系自由度的数目.
  • 一个给定体系往往可以找到多个CSCO,或CSCCO。在处理具体问题时,应视其侧重点来进行选择。一个CSCCO的成员的洗择，涉及体系的对称性。

• 体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同本征函数来展开,在数学上涉及完备性问题.这是一个颇为复杂的问题.李政道曾经给出关于本征态的完备性的如下重要的定理.

  • 定理:设\(\hat H\)为体系的一个厄米算符,对于体系的任一态ψ ,(ψ,\(\hat Hψ\) )/(ψ ,ψ)有下界(即总是大于某一个固定的数c),但无上界,则\(\hat H\)的本征态的集合,构成体系的态空间中的一个完备集,即体系的任何一个量子态都可以用这一组本征态完全集来展开。
    • 自然界中真实存在的物理体系的Hamilton 算符\(\hat H\)都应为厄米算符(保证所有能量本征值为实),并且应有下界(能量无下界是不合理的,在自然界中未发现这种情况)。因此，体系的任一量子态总可以放心地用包含\(\hat H\)在内的一个CSCCO的共同本征态完全集来展开。
    • 在\(\hat H\)本征值有简并的情况下,对于给定能量本征值,本征态尚未完全确定,此时需要用包含Hamilton量在内的一个CSCCO，根据他们的本征值把本征态完全确定下来，以便于对任何量子态进行确切的展开.

4 量子力学中力学量用厄米算符表达

• 与薛定谔方程是量子力学的一个基本假定一样，量子体系的可观测量（力学量）用一个线性厄米算符来描述，也是量子力学的一个基本假定，它们的正确应该由实验来判定。

• “量子力学中力学量用相应的线性厄米算符来表达”，其含义是多方面的：

  • 在给定状态\(\psi\)之下，力学量A的平均值\(\overline A\)由下式确定：

    

  • 在实验上观测某力学量A，它的可能取值\(A^‘\)就是算符\(\hat A\)的一个本征值。由于力学量观测值总是实数，所以要求相应的算符必为厄米算符

  • 力学量之间关系也通过相应的算符之间的关系反映出来。例如，两个力学量A与B，在一般情况下，可以同时具有确定的观测值的必要条件为\([\hat A,\hat B]=0\)

    • 反之，若\([\hat A,\hat B]\ne 0\),则一般来说，力学量A与B不能同时具有确定的观测值。
    • 特别是对于H不显含t的体系，一个力学量A是否是守恒量，可以根据\(\hat A\)与\(\hat H\)是否对易来判断。