高等数学——极限存在准则,两个重要极限

高等数学——极限存在准则,两个重要极限极限存在准则准则1:如果有数列\(\{x_{n}\},\{y_{n}\},\{z_{n}\}\),如果满足:\(\existsn_{0}\in\text{N}\),当\(n>n_{0}\)时,有\(y_{n}\lex_{n}\lez_{n}\);\(\lim_{n\to

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极限存在准则

准则1:如果有数列 \(\{x_{n}\},\{y_{n}\},\{z_{n}\}\),如果满足:

\(\exists n_{0}\in \text{N}\),当 \(n>n_{0}\) 时,有 \(y_{n}\le x_{n}\le z_{n}\)

\(\lim_{n\to \infty} y_{n} =a,\lim_{n\to\infty}z_{n} = a\)

那么数列 \(\{x_{n}\}\) 的极限存在,且 \(\lim_{n\to \infty}x_{n} =a\)

准则1‘:如果:

当 $x\in \overset{\circ}{U}(x_{0}, r) $(或 \(|x|>M\) 时), \(g(x)\le f(x)\le h(x)\)

\(\lim_{x\to x_{0}} g(x) =A,\lim_{x\to x_{0}} h(x) =A\)(也可以趋向 \(\infty\)

那么 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 存在,且等于 \(A\).

上面两个准则合起来称为夹逼准则

第一个重要极限

\[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

一定要是 \(x\to 0\)

\[\lim_{?\to 0} \frac{\sin ?}{?} = 1 \]

\(\sin\)\(\tan\)\(\arcsin,\cos\) 等):

\[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\frac{1}{\cos x}= 1 \]

\(x\)

\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\sin 2x} =\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{\sin 2x}{2x}}\times \frac{1}{2}=1 \]

准则2:单调有界数列必有极限。

第二个重要极限

\[\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e \]

\[\lim_{?\to \infty}(1+\frac{1}{?})^{?}=e \]

\[\lim_{x\to \infty}(1 + x)^{\frac{1}{x}}= e \]

柯西极限存在准则

\(\{x_{n}\}\) 收敛的充要条件是 \(\forall \varepsilon ,\exists N, m>N,n>N\) 时,$|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon $

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