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极限存在准则
准则1:如果有数列 \(\{x_{n}\},\{y_{n}\},\{z_{n}\}\),如果满足:
\(\exists n_{0}\in \text{N}\),当 \(n>n_{0}\) 时,有 \(y_{n}\le x_{n}\le z_{n}\);
\(\lim_{n\to \infty} y_{n} =a,\lim_{n\to\infty}z_{n} = a\);
那么数列 \(\{x_{n}\}\) 的极限存在,且 \(\lim_{n\to \infty}x_{n} =a\)。
准则1‘:如果:
当 $x\in \overset{\circ}{U}(x_{0}, r) $(或 \(|x|>M\) 时), \(g(x)\le f(x)\le h(x)\);
\(\lim_{x\to x_{0}} g(x) =A,\lim_{x\to x_{0}} h(x) =A\)(也可以趋向 \(\infty\))
那么 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 存在,且等于 \(A\).
上面两个准则合起来称为夹逼准则。
第一个重要极限
一定要是 \(x\to 0\)。
无 \(\sin\) 有 \(\tan\)(\(\arcsin,\cos\) 等):
无 \(x\) :
准则2:单调有界数列必有极限。
第二个重要极限
柯西极限存在准则
\(\{x_{n}\}\) 收敛的充要条件是 \(\forall \varepsilon ,\exists N, m>N,n>N\) 时,$|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon $
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