矩阵论基础 3.3 矩阵的秩

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1. 矩阵的秩

定义4 在m´n矩阵A中, 任取k行与k列(k£m, k£n), 位于这些行列交叉处的k²个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式.

m´n矩阵A的k阶子式有个。

当A的所有元素都是零时，A的任何子式都必然是零；当A中有一个元素不为零时，A中至少有一个一阶子式非零，再看A的所有二阶子式，如果有非零的子式，再看A的所有3阶子式，这样下去，如果A至少有一个非零的r阶子式，而A的所有r+1阶子式都是零，也就是A的最高阶非零子式的阶数为r，r揭示了矩阵A的内在特性。

定义5 在m´n矩阵A 中，若非零子式的最高阶数为r，数r称为矩阵A的秩数, 记作R(A)=r 。

如，A中有非零的2阶子式，但它所有的3阶子式全为零，故R(A)=2。

由秩数的定义可得下面结论：

（1）若A是零矩阵，则R（A）=0

（2）若A是m´n阶非零矩阵，则1≤R（A）≤min(m，n)。

注意：矩阵A的秩数不可能大于其行数或列数。

特别地，

R（A）=m，称A为行满秩矩阵；

R（A）=n，称A为列满秩矩阵；

当A是n阶方阵，又R（A）=n，称A为满秩矩阵。

可见，单位矩阵是满秩矩阵。

（3）对于行阶梯矩阵，其非零行的行数就是该矩阵的秩数。如

，R(A)=2

R(B)=3

定理4 若矩阵A和B等价，则R(A)= R(B)

由定理4，我们得到如下求矩阵秩数的方法：先利用初等行变换将矩阵A化为行阶梯矩阵B，再根据B的秩数等于其非零行的行数，即求得R（B），又因为A～B，所以R（A）=R（B）。

例5

解：对矩阵A实施初等行变换

B是行阶梯矩阵，其非零行数为2，所以R（B）=2。

再由定理4得，R（A）=R（B）=2

例6 证明：A为任意矩阵，用可逆矩阵P左乘A，则R（PA）=R（A）。

证明：因为P是可逆矩阵，根据定理3知，P恒为若干个初等矩阵之积。设

Ｐ＝Ｊ_s…Ｊ₁ ， Ｊ_１，…Ｊ_s为初等方阵

又

ＰＡ＝Ｊ_s…Ｊ₁ Ａ

上式表明，Ａ经过若干次初等变换变成ＰＡ，所以Ａ～ＰＡ，则R（PA）=R（A）。