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转置、置换、向量空间

置换矩阵（Permutation Matrix）

置换矩阵(Permutation Matrix)，\(n\)阶方阵的置换矩阵有\(\binom{n}{1}=n!\)个，3阶方阵的置换矩阵有6个：

为了交换两行，我们在左边乘以一个置换矩阵。

例如右乘 $$P_{12} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{bmatrix}$$以交换3 × 3矩阵的第一和第二行。

矩阵 \(A\) 左乘一个置换矩阵\(P\)交换矩阵的行，右乘则交换矩阵的列。

置换矩阵有一个比较重要的性质是：任何置换矩阵的逆等于它的转置，即\(P^{-1} = P^T\)。

对置换矩阵\(P\)，有\(P^TP = I\)。

LU分解的补充：若\(P\)为置换矩阵，对任意可逆矩阵\(A\)有：\(PA=LU\)

转置矩阵（Transpose Matrix）

转置：\((A^T)_{ij} = (A)_{ji}\)

例子：（转置就好像是让矩阵站了起来）

\(\begin{bmatrix}1&0&0\\3&1&0\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}1&3\\0&1\\0&0\end{bmatrix}\)

一些性质：

1. \((A^T)^T = A\)

2. \((AB)^T=B^TA^T\)

对称矩阵（Symmetric Matrix）

满足\(A^T=A\) 的矩阵为对称矩阵。

对任意矩阵\(R\)，都有\(R^TR\)为对称矩阵。

推导过程：

A matrix \(A\) is symmetric if \(AT=A\). Given any matrix \(R\) (not necessarily square) the product \(R^TR\) is always symmetric, because \((R^TR)T=R^T(R^T)^T=R^TR\).

向量空间（Vector Space）

向量的线性组合张成(span)向量空间（即将向量相加或者进行数乘）。

We can add vectors and multiply them by numbers, which means we can dis­ cuss linear combinations of vectors. These combinations follow the rules of a vector space.

一个具体的实例就是\(\mathbb{R}^2\) ，他就是全部的x-y平面，二维空间。

Another example of a space is \(\mathbb{R}^n\), the set of (column) vectors with n real number components

封闭性（Closure）

向量空间中任意向量的数乘、求和运算得到的向量也在该空间中。即向量空间要满足加法封闭和数乘封闭。

举例：第一象限不是向量空间，\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)数乘-2得到\(\begin{bmatrix}-2\\-2\end{bmatrix}\)，不属于第一象限。

子空间（Subspaces）

如果一个向量空间存在于另一个向量空间内，就称为为一个子空间。

举例：如果 \(v\;in\;\mathbb{R}^2\) ，对于任意 \(\textrm{c}v\) (c是任意实数)都是\(\mathbb{R}^2\)的一个子空间\((\textrm{c}v\) 是一条过零点的直线，\(\mathbb{R}^2\)是xy平面)。需要注意的是：任何子空间都要包含0向量，否则如果乘以系数为0的话就不满足子空间的定义了

Every subspace must contain the zero vector because vector spaces are closed under multiplication.

\(\mathbb{R}^2\)的典型子空间：

1. \(\mathbb{R}^2\)（自己）
2. 任何通过点\(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\)的直线
3. 0向量

\(\mathbb{R}^3\)的典型子空间：

1. \(\mathbb{R}^3\)（自己）
2. 任何穿过原点的面
3. 任何穿过原点的线
4. 0向量

综上，向量空间的重点为：

1. 所有向量空间都必须包含原点（Origin）；
2. 向量空间要满足加法封闭和数乘封闭。

reference

[1] textbook

[2] mit18.06学习笔记